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\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center}
\texttitle{Mécanique du solide}
\end{center}

\begin{enumerate}[I. ]
\item \textsb{Formules générales}
\begin{itemize}
\item \fbox{$\displaystyle \left( \frac{d\vec{A}}{dt} \right)_{(R_0)} = \left( \frac{d\vec{A}}{dt} \right)_{(R)} + \vec{ω}_{R/R_0}\wedge\vec{A}$}
\item $\vec{v}(M)_{(R_0)} = \vec{v}(M)_{(R)} + \vec{v}_e$ avec $\vec{v}_e = \vec{v}(O)_{(R_0)} + \vec{ω}\wedge\overrightarrow{OM}$
\item $\vec{a}(M)_{(R_0)} = \vec{a}(M)_{(R)} + \vec{a}_e + \vec{a}_c$ avec $\begin{cases} \vec{a}_e = \vec{a}(O)_{R_0} + \frac{d\vec{ω}}{dt}\wedge\overrightarrow{OM} + \vec{ω}\wedge (\vec{ω}\wedge\overrightarrow{OM}) \\
\vec{a}_c = 2 \vec{ω}\wedge\vec{v}(M)_{(R)}\end{cases}$
\item $\vec{ω}_{T/(C)} = \vec{ω}_{T/(R)} + \vec{ω}_{(R)/C} \Rightarrow \frac{1}{T_{\text{sid}}} = \frac{1}{T_{\text{sol}}} + \frac{1}{\text{année}}$
\item Théorème du moment cinétique~: \fbox{$\left( \frac{d{\vec{σ}_{O,(R_g)}}}{dt} \right)_{(R_g)} = \vec{\mathcal{M}}_{\text{ext}}^O - \vec{v}(O)_{(R_g)}\wedge m \vec{v}(G)_{(R_g)}$}
\end{itemize}
 
\item \textsb{Cinématique du solide}
\begin{itemize}
\item \fbox{$\vec{v}(M)_{(R)} = \vec{v}(A)_{(R)} + \vec{ω}_{S/(R)}\wedge\overrightarrow{AM}$}
\item Vitesse de glissement~: $\vec{v}_{g,S_2/S_1} = \vec{v}(I_2)_{(R)} - \vec{v}(I_1)_{(R)}$
\item RSG~: $\vec{v}_{g,S_2/S_1} = \vec{0}$
\end{itemize}
 
\item \textsb{Cinétique du solide}
\begin{itemize}
\item $\displaystyle \vec{σ}_{O,(R)} = \iiint_{S}\overrightarrow{OM}\wedge dm \vec{v}(M)_{(R)}$
\item \fbox{$σ_Δ = J_Δω$} où $\displaystyle J_Δ = \iiint_Sr^2 dm$
\item Théorème d'\textsc{Huygens}~: $J_Δ = J_{Δ_G} + md^2$
\item Énergie cinétique d'un solide en rotation autours d'un axe fixe $Δ$~: \fbox{$E_{C,(R)} = \frac{1}{2}J_Δω^2$}
\end{itemize}
 
\item \textsb{Dynamique du solide}
\begin{itemize}
\item Th. M.C. scalaire~: \fbox{$J_Δ\frac{dω}{dt} = \sum\mathcal{M}_{\text{ext}}^Δ$}
\item Puissance des forces appliquées à un solide~: $P_{(R)} = \vec{F}_{\text{ext}}\cdot\vec{v}(A)_{(R)} + \vec{ω}_{S/(R)}\cdot\vec{\mathcal{M}}_{\text{ext}}^A$
\end{itemize}

\item \textsb{Les lois du frottement}
\begin{enumerate}[a. ]
\item S'il y a effectivement glissement soit $\vec{v}_g ≠ \vec{0}$
\begin{itemize}
\item $\vec{T}$ s'oppose au glissement ; $\vec{T}$ a la même direction que $\vec{v}_g$ mais de sens opposé.
\item son module vérifie $|\vec{T}| = k|\vec{N}|$. $k$ est appelé le coefficient dynamique de frottement de glissement.
\end{itemize}
\item S'il n'y a pas de glissement soit $\vec{v}_g = \vec{0}$ alors $|\vec{T}| ≤ k_0|\vec{N}|$
\end{enumerate}

\item \textsb{Équilibrage d'un solide}
\begin{itemize}
\item Lorsque $G$ est sur l'axe de rotation, il y a équilibrage statique.
\item Lorsque $\vec{σ}_O \parallelslant Δ$, il y a équilibrage dynamique.
\end{itemize}

\end{enumerate}

 \end{document}