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\begin{document}

\begin{center}
\texttitle{Optique physique — Interférences — Diffraction}
\end{center}

\begin{enumerate}[I. ]
\item \textbf{Formules de base}
\begin{itemize}
\item $I = k\ \underbar{A}\cdot\underbar{A}^*$
\item $φ(M) = \frac{2πδ}{λ_0}$
\end{itemize}

\item \textbf{Interférences entre deux sources ponctuelles monochromatiques et cohérentes entre elles}
\begin{enumerate}[1. ]
\item Formules de base
\begin{itemize}
\item $I(M) = 2I_0\left(1 + \cos φ(M) \right)$
\item $δ = n(r_2 - r_1)$
\item $p(M) = \frac{φ(M)}{2π} = \frac{δ}{λ_0}$
\end{itemize}
\item Cas des ondes sphériques
\begin{itemize}
\item Écran $E_1$ perpandiculaire à la médiatrice \\
$S_1S_2 = a$ et $CO_1 = D$ \\
$δ = \frac{ax}{D}$ [Pythagore + DL] \\
$i = \frac{λD}{a}$ [partir de $δ = kλ$] \\
$I(x) = 2I_0\left( 1 + \cos(\frac{2πx}{i}) \right)$
\item Écran $E_2$ perpandiculaire à l'axe $(S_1S_2)$ \\
$ρ = O_2M$ et $D = CO_2$ \\
$δ = a(1 - \frac{ρ^2}{2D^2})$ [cercle, $S_2H = a\cos θ$ puis $θ \simeq \frac{ρ}{D}$]
\end{itemize}
\item Cas des ondes planes \\
$\widehat{\vec{k}_1, \vec{k}_2} = α$ \\
$φ(M) = (\vec{k}_2 - \vec{k}_1)\cdot\vec{r} = 2k\sin\left(\frac{α}{2}\right)\cdot x$ \\
$i = \frac{λ}{2\sin\left(\frac{α}{2}\right)}$
\end{enumerate}

\item \textbf{Dispositifs expérimentaux}
\begin{enumerate}[1. ]
\item Fentes de \textsc{Young} \\
Dispositif avec deux lentilles de part et d'autre des fentes. \\
$δ = \frac{ax}{f'_2}$ [plan d'ondes, Malus, $δ = a\sin θ \simeq a\tan θ$]
\item Les miroirs de \textsc{Fresnel} (ondes sphériques) \\
$S_1$ image de $S$ par $M_1$ et $S_2$ image de $S$ par $M_2$.
On retrouve deux sources secondaires du type trous de \textsc{Young}.
\item Biprisme de \textsc{Fresnel} (ondes planes) \\
Déviation d'un prisme d'angle au sommet $A \ll 1$~: $D = (n-1)\ A$ \\
$i = \frac{λ}{2 \sin\frac{α}{2}}$ \\
$α = 2D$ donc $i \simeq \frac{λ}{2D} = \frac{λ}{2(n-1)A}$
\item Interféromètre à $N$ ondes, \textsc{Fabry-Pérot} \\
Rayons parallèles~: interférences à l'infini. \\
$\underbar{A} = TA_0\left(1 + Re^{-iφ} + \ldots + (Re^{-iφ})^p\right)$ \\
$\phantom{\underbar{A}} = \frac{TA_0}{1 - Re^{-iφ}}$ \\
$\frac{I(φ)}{I_0} = \frac{1}{1+m\sin^2 \frac{φ}{2}}$ (fonction d'\textsc{Airy}) \\
$φ = \frac{4πne\cos i}{λ_0}$ [différence de marche, $P$ point de partage] \\
Finesse de \textsc{Fabry-Pérot}~: $\mathcal{F} = \frac{\text{Distance entre deux pics}}{\text{Largeur à mi-hauteur}} = \frac{2π}{Δφ}$ \\
$\mathcal{F} = \frac{π\sqrt{R}}{1-R}$ \\
Anneau brillant~: $δ = 2ne\cos i_p = pλ_0$ ($p$ max au centre) \\
Au centre~: $2ne = p_0λ_0$ \\
d'où $2ne\frac{i_k^2}{2} = kλ_0$
$R_k = f'\cdot i_k = f'\sqrt{k\frac{λ_0}{ne}}$
\item Interféromètre de \textsc{Michelson} \\
$e = M_1'M_2$ et $α = \left(\widehat{M_1',M_2}\right)$
\begin{itemize}
\item Utilisation en «~lame d'air~»~: les franges d'égale inclinaison \\
$e ≠ 0$ et $α = 0$ \\
$S_1S_2 = 2e$ \\
$δ(i) = 2e\cos i$
$p_0 = \frac{δ(i=0)}{λ} = \frac{2e}{λ}$
$r_k = f'_2\sqrt{k\frac{λ}{e}}$ [même calcul que \textsc{Fabry-Pérot}, centre - k\up{ème} $\Rightarrow i_k$ puis $r_k \simeq f'_2i_k$] \\
On obtient des anneaux centrés sur $O$.
\item Utilisation en «~coin d'air~»~: les franges d'égale épaisseur \\
$e = 0$ et $α ≠ 0$ \\
$e'$ l'épaisseur du coin d'air au point $M$. \\
$δ = 2e' = 2αx \Rightarrow x_p = \frac{pλ}{2α} \Rightarrow i = \frac{λ}{2α}$ \\
On obtient des segments parallèles à l'arête du coin d'air.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\pagebreak
\item \textbf{Visibilité des franges et cohérences}
\begin{enumerate}[1. ]
\item Formules de base
\begin{itemize}
\item $C = \frac{I_{\text{max}} - I_{\text{min}}}{I_{\text{max}} + I_{\text{min}}}$
\end{itemize}
\item Cohérence spatiale
\begin{enumerate}[a. ]
\item $S$ est formée de $P_1$ et $P_2$ \\
$δ_{\text{tot}}(P_1,M) = \frac{aX_1}{D'} + \frac{ax}{D}$ \\
$C = \left| \cos \frac{π}{λ}\frac{a P_1P_2}{D'} \right|$ \\
Application à l'observation d'étoiles doubles~: $C=0$ pour la première fois si $\frac{P_1P_2}{D'} = \frac{1}{2}\frac{λD'}{a}$
\item $S$ est une fente de largeur $l$ \\
$d^2I = 2I_Sd^2S(1+\cos\frac{2π}{λ}(δ(P) + δ(M)))$ \\
d'où après intégration $C = \left|\frac{\sin \frac{πal}{λD'}}{\frac{πal}{λD'}} \right|$
\end{enumerate}
\item Cohérence temporelle \\
$\frac{1}{λ} - \frac{1}{λ'} \simeq \frac{Δλ}{λ^2}$ \\
\begin{enumerate}[a. ]
\item Deux radiations monochromatiques voisines \\
$C(x) = \left| \cos\left( \frac{πa Δλ x}{Dλ^2} \right) \right|$
\item Cas d'une raie de largeur à mi-hauteur $Δν$ modélisée par un profil rectangulaire. \\
$τ = \frac{δ}{c}$ différence des temps de propagation \\
$φ = 2πτν$ \\
$C(M) = \left| \frac{\sin(πτΔν)}{πτΔν} \right|$ \\
Contraste non nul si $δ ≤ cτ_0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \textbf{Diffraction de \textsc{Fraunhofer}}
\begin{itemize}
\item Principe d'\textsc{Huygens-Fresnel}~: $\underbar{A}(\vec{k}) = A_0\iint_{(S)}t(\vec{r})e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}dS$
avec $\begin{cases} \text{\danger}\vec{r} = \overrightarrow{O'P} \\
φ_M(P) = \frac{2πδ}{λ} = -\vec{k}\cdot\vec{r} \\
δ = (PM) - (O'M)
\end{cases}$
\item Fente fine~: première annulation pour $\sin(θ_0) = \frac{λ}{a} \simeq θ_0 $
\item Ouverture circulaire~: première annulation pour $θ_0 = 1,22\frac{λ}{D}$
\item Théorème de \textsc{Babinet}~: Les figures de diffraction données par deux écrans complémentaires sont identiques.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\end{document}