%&latex
\documentclass[a4paper]{article}
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\setmarginsrb{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{0cm}{0cm}{0cm}{0cm}
\pagestyle{empty}
\renewcommand{\vartheta}{\theta}

\begin{document}
\begin{center}
\texttitle{Optique géométrique}
\end{center}

\begin{enumerate}[I.]
\item \textbf{Lois de \textsc{Snell-Descartes}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a.]
\item \textsb{Réflexion}
\begin{itemize}
\item Le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence
\item Les angles sont liés par la relation $i_2 = -i_1$
\item Autre formulation : $\exists \alpha \in \mathbb{R}, \vec{u}_2 - \vec{u}_1 = \alpha\cdot\vec{n}$
\end{itemize}
\item \textsb{Réfraction}
\begin{itemize}
\item Le rayon réfracté est dans le plan d'incidence
\item Les angles vérifient $n_1\sin(i_1) = n_2\sin(i_2)$
\item Autre formulation : $\exists \alpha \in \mathbb{R}, n_2\vec{u}_2 - n_1\vec{u}_1 = \alpha\cdot\vec{n}$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item \textbf{Miroirs sphériques}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $p = \overline{SA}$, $p' = \overline{SA'}$ et $f' = \overline{SF'} = \frac{\overline{SC}}{2}$
\item $\frac{1}{p'}+\frac{1}{p} = \frac{2}{R} = \frac{1}{f'}$
\item $\overline{FA}\cdot\overline{FA'} = \overline{FS}^2$
\item $\sigma\cdot\sigma ' = f^2$
\item $\frac{1}{\overline{CA'}}+\frac{1}{\overline{CA}} = \frac{1}{CF} = \frac{2}{CS}$
\item $\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} = -\frac{p'}{p}$
\item $\gamma = \frac{\overline{CA'}}{\overline{CA}} = \frac{-f}{\sigma} = \frac{\sigma '}{-f}$
\end{itemize}
\end{multicols}

\item \textbf{Lentilles}
\begin{enumerate}[a. ]

\item \textsb{Formules de conjugaison}
\begin{itemize}
\item $σ\cdot σ' = -f'^2$
\item $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OF'}}$
\item $\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f'}$
\end{itemize}

\item \textsb{Grandissement linéaire}\par
$γ = \frac{p'}{p} = \frac{-f}{σ} = \frac{σ'}{-f'}$
\item \textsb{Grandissement angulaire} \par\smallskip
\hspace*{\stretch{1}}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\scalebox{0.7}{
\psframebox{%
\lens[focale=1,lensScale=0.8,XO=0.5,OA=-2,AB=1.5,drawing=false,XPIC=2.8,YPIC=2]
\psline[linewidth=1.5\pslinewidth,arrowinset=0]{->}(A)(B)
\psline[linewidth=1.5\pslinewidth,arrowinset=0]{->}(A')(B')
\uput[270](A){A}
\uput[90](B){B}
\psline(B)(B')
\Arrows(B)(B')
\Arrows(O)(B')
\psline[linecolor=red](A)(I)(A')
\Arrows[linecolor=red,arrows=->>,length=2](A)(I)
\Arrows[linecolor=red,arrows=->>,length=2](I)(A')
\nput[labelsep=0]{36}{A}{%
\psarcn(0,0){.4cm}{36}{0}
\uput{.45cm}[20](0,0){{$α$}}}
\nput[labelsep=0]{200}{A'}{%
\psarcn(0,0){.4cm}{-180}{145}
\uput{.45cm}[163](0,0){{$α'$}}}
}}
\end{center}
\end{minipage}
\hspace{\stretch{1}}
\begin{minipage}{6cm}
\vspace*{\stretch{1}}
\begin{center} \fbox{$\displaystyle g = \frac{α'}{α}$} \end{center}
$α$ et $α'$ sont les angles d'ouverture
\vspace*{\stretch{1}}
\end{minipage}
\hspace*{\stretch{1}}

\noindent Formule de \textsc{Lagrange-Helmholtz}~: $γg = 1$

\item \textsb{Grossissement} \par\smallskip
\hspace*{\stretch{1}}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\scalebox{0.7}{
\psframebox{%
\begin{pspicture}*(-2.5,-2.5)(5,2.5)
\psline(-4,0)(5,0) %axe optique
\psline(-2,1.25)(2.5,-1) %rayon incident
\psline(-1,1.75)(0.5,1) %rayon incident
\psline(-3,0.75)(0.5,-1) %rayon incident
\psline(2.5,-1)(4.5,0)
\psline(0.5,-1)(4.5,1)
\psline(0.5,1)(2.5,-2)
\psline(2.5,-2)(4.5,-1)
\psline{<->}(0.5,-2.5)(0.5,2.5) %L1
\pnode(0.5,0){O1}
\pnode(-0.5,0){F_1}
\pnode(1.5,0){F'}
\pnode(3.5,0){F'_2}
\pnode(2.5,0){O2}
\psdots[dotstyle=|](F_1)
\psdots[dotstyle=|](F')
\psdots[dotstyle=|](F'_2)
\psline{<->}(2.5,-2.5)(2.5,2.5) %L2
\nput[labelsep=0]{0}{O1}{%
\psarcn(0,0){.4cm}{-180}{154}
\uput{.65cm}[165](0,0){{$θ$}}}
\nput[labelsep=0]{0}{O2}{%
\psarcn(0,0){.4cm}{26}{0}
\uput{.65cm}[15](0,0){{$θ'$}}}
\end{pspicture}
}}
\end{center}
\end{minipage}
\hspace{\stretch{1}}
\begin{minipage}{6cm}
\vspace*{\stretch{1}}
\begin{center} \fbox{$\displaystyle G = \frac{θ'}{θ}$} \end{center}
$θ$ et $θ'$ sont les diamètres apparents de l'objet à l'œil nu (\emph{ponctum proximum} dans le cas du grossissement commercial et infini dans le cas d'une lunette afocale) et de l'image à travers la lentille.
\vspace*{\stretch{1}}
\end{minipage}
\hspace*{\stretch{1}}
\end{enumerate}

\item \textbf{Théorème de \textsc{Malus}}
\begin{itemize}
\item Entre deux surfaces d'onde, le chemin optique est le même.
\item Les rayons lumineux issus d'un même point sont normaux aux surfaces d'onde.
\end{itemize}

\item \textbf{Constructions}
\begin{enumerate}[a.]
\item \textsb{Miroirs convexes et concaves}
\begin{itemize}
\item Le rayon incident passant par le centre $C$ revient sur lui-même
\item Le rayon incident parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer principal.
\item Le rayon incident passant par le foyer F émerge parallèlement à l'axe optique.
\item Le rayon arrivant sur $S$ est réfléchi symétriquement à l'axe optique.
\item Deux rayons incidents parallèles entre eux émergent en se coupant dans le plan focal.
\item Deux rayons incidents se coupant dans le plan focal émergent parallèlement.
\end{itemize}
\item \textsb{Lentilles convergentes et divergentes}
\begin{itemize}
\item Le rayon passant par $O$ n'est pas dévié
\item Un rayon incident passant par $F$ émerge parallèle à l'axe optique
\item Un rayon incident parallèle à l'axe optique émerge en passant par $F'$
\item Deux rayons incidents parallèles entre eux émergent en se coupant dans le plan focal image
\item Deux rayons incidents se coupant dans le plan focal objet émergent parallèlement
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}