\documentclass[a4paper]{article}
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% Marges du document
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\pagestyle{empty}

% Définitions mathématiques
\everymath{\displaystyle}
\newcommand{\derive}[2]{\ensuremath \frac{\mathrm{d}#1}{\mathrm{d}#2}}
\newcommand{\dert}[1]{\derive{#1}{t}}
\newcommand{\derpar}[2]{\ensuremath \frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derivesec}[2]{\ensuremath \frac{\mathrm{d}^2 #1}{\mathrm{d}#2 ^2}}
\newcommand{\grad}{\ensuremath \overrightarrow{\mathrm{grad}} \,}
\renewcommand{\jmath}{j} %visiblement il y a un problème avec mathptmx
\newcommand{\diff}[1]{\ensuremath \mathrm{d}#1}
\let\tmp=\theta
\let\theta=\vartheta
\let\vartheta=\tmp

\begin{document}

\begin{center}
\textbf{Fiche de mécanique du point matériel}
\end{center}

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[I. ]

\item Systèmes de coordonnées
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[1. ]
\item Coordonnées cartésiennes
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{OM} = x\vec{e_x} + y\vec{e_y} + z\vec{e_z}$
\item $\vec{v}(M) = \dot{x}\vec{e_x} + \dot{y}\vec{e_y} + \dot{z}\vec{e_z}$
\item $\vec{a}(M) = \ddot{x}\vec{e_x} + \ddot{y}\vec{e_y} + \ddot{z}\vec{e_z}$
\item $\grad f = \derpar{f}{x}\overrightarrow{e_x} + \derpar{f}{y}\overrightarrow{e_y} + \derpar{f}{z}\overrightarrow{e_z}$
\end{enumerate}
\item Coordonnées cylindriques
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{OM} = r\vec{e_r} + z\vec{e_z}$
\item $\vec{v}(M) = \dot{r}\vec{e_r} + r\dot{\theta}\vec{e_{\theta}} + \dot{z}\vec{e_z}$
\item $\vec{a}(M) = \vec{e_r}\left( \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 \right) + \vec{e_{\theta}}\left( r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} \right) + \ddot{z}\vec{e_z}$
\item $\grad f = \derpar{f}{r}\overrightarrow{e_r} + \frac{1}{r}\derpar{f}{\theta}\overrightarrow{e_{\theta}} + \derpar{f}{z}\overrightarrow{e_z}$
\item Projections~:
$\begin{cases}
\vec{e}_r = \cos θ \vec{e}_x + \sin θ \vec{e}_y \\
\vec{e}_θ = -\sin θ \vec{e}_x + \cos θ \vec{e}_y
\end{cases}$
\end{enumerate}
\item Coordonnées sphériques
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{OM} = r\vec{e_r}$
\item $\vec{v}(M) = \dot{r}\vec{e_r} + r\dot{\theta}\vec{e_{\theta}} + r\sin\theta\dot{\phi}\vec{e_{\phi}}$
\item $\vec{a}(M) = \left(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 - r\sin^2\theta\dot{\phi}^2\right)\vec{e_r}$ \\
      \noindent $\phantom{\vec{a}(M) = } + \left(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} - r \sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^2\right)\vec{e_{\theta}}$ \\
      \noindent $\phantom{\vec{a}(M) = } + \left(r\sin\theta\ddot{\phi} + 2\dot{r}\sin\theta\dot{\phi} + 2r\cos\theta\dot{\theta}\dot{\phi}\right)\vec{e_{\phi}}$
\item $\grad f = \derpar{f}{r}\overrightarrow{e_r} + \frac{1}{r}\derpar{f}{\theta}\overrightarrow{e_{\theta}} + \frac{1}{r \sin \theta}\derpar{f}{\phi}\overrightarrow{e_{\phi}}$
\item Projections~:
$\begin{cases}
\vec{e}_r = \sin θ \cos φ \vec{e}_x + \sin θ \sin φ \vec{e}_y + \cos θ \vec{e}_z \\
\vec{e}_θ = \cos θ \cos φ \vec{e}_x + \cos θ \sin φ \vec{e}_y - \sin θ \vec{e}_z \\
\vec{e}_φ = -\sin φ \vec{e}_x + \cos φ \vec{e}_y
\end{cases}$
\end{enumerate}
\item Abscisse curviligne
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\vec{\tau} = \derive{\overrightarrow{OM}}{s}$
\item $\derive{\vec{\tau}}{s} = \frac{\vec{n}}{R_c}$
\item $\vec{v}(M) = \dot{s}\vec{\tau}$
\item $\vec{a}(M) = \ddot{s}\vec{\tau} + \frac{\dot{s}^2}{R_c}\vec{n}$
\item $\vec{v} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2}\dert{v^2}$

\item Si le mouvement est circulaire alors
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{OM} = R\vec{e_r}$
\item $\vec{v}(M) = R\cdot\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}$
\item $s = \pm R\cdot\theta + \mathrm{k}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\end{multicols}

\item Changement de référentiel
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[1. ]
\item Vecteur rotation
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \vec{\Omega} = \dot{\theta}\vec{e_z}$
\item $\vec{v}(M) = \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OM}$
\item S'il y a plusieurs axes de rotation, les vecteurs $\vec{\Omega}$ se somment.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Vecteur vitesse
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\vec{v}(M)_R = \vec{v}(M)_{R'} + \vec{v}_e(M)_{R'/R}$
\item $\vec{v}_e(M)_{R'/R} = \vec{v}(O')_R + \vec{\Omega}_{R'/R} \wedge \overrightarrow{O'M}$
\end{enumerate}
%\end{multicols}

\item Vecteur accélération
\begin{enumerate}
\item $\vec{a}(M)_R = \vec{a}(M)_{R'} + \vec{a}_e(M)_{R'/R} + \vec{a}_c(M)_{R'/R}$
\item $\vec{a}_e(M)_{R'/R} = \vec{a}(O')_R + \vec{\Omega}_{R'/R} \wedge (\vec{\Omega}_{R'/R} \wedge \overrightarrow{O'M}) + (\dert{\vec{\Omega}_{R'/R}})_R \wedge \overrightarrow{O'M}$
\item $\vec{a}_c(M)_{R'/R} = 2\vec{\Omega}_{R'/R} \wedge \vec{v}(M)_{R'}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\end{multicols}

\item Dynamique du point matériel
\begin{enumerate}[1. ]
\item $\vec{p}(M)_R = m\vec{v}(M)_R$
\item $\overrightarrow{L_O}(M)_R = \overrightarrow{OM} \wedge \vec{p}(M)_R$
\item $\Delta(O,\vec{e})$ : $L_{\Delta}(M)_R = \vec{e} \cdot \overrightarrow{L_O}(M)_R$ avec $O \in \Delta$
\item $\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\vec{F}) = \overrightarrow{OM} \wedge \vec{F}$
\item $\Delta(O, \vec{e})$ : $\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) = \vec{e} \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\vec{F})$
\item $|\mathcal{M}_{\Delta}| = d \cdot F$ avec $d$ la distance entre $\Delta$ et le support de $\vec{F}$

\item Principe fondamental de la dynamique \textbf{dans un référentiel galiléen}
%\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\sum_{i=1}^n\vec{F}_{S_i \rightarrow M} = m \vec{a}(M)_R$
\item $\sum_{i=1}^n\vec{F}_{S_i \rightarrow M} = (\dert{\vec{p}(M)_R})_R$
\item $\sum\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\vec{F}) = (\dert{\overrightarrow{L_O}(M)_R})_R$
\item $\sum\mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) = (\dert{L_{\Delta}(M)_R})_R$
\end{enumerate}
%\end{multicols}

\item Principe fondamental de la dynamique \textbf{dans un référentiel non galiléen}
\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{2}
\item $m\vec{a}(M)_{R'} = \sum\vec{F} + \vec{F}_{ie} + \vec{F}_{ic}$
\item $\vec{F}_{ie} = -m\vec{a}_e(M)_{R'/R}$
\item $\vec{F}_{ic} = -m\vec{a}_c(M)_{R'/R}$
\item Le théorème du moment cinétique reste applicable en ajoutant à droite les moments des forces d'inertie.
%\end{multicols}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\begin{multicols}{2}
\item Travail et travail d'une force
\begin{enumerate}[1. ]
%\begin{multicols}{2}
\item Travail élémentaire : $\delta W(\vec{F})_R = \vec{F} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OM}$
\item Travail total : $W_{M_1\rightarrow M_2}(\vec{F})_R = \int_{\widehat{M_1M_2}}\overrightarrow{F}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{OM}$
\item Puissance : $P(\overrightarrow{F})_R = \overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{v}(M)_R$
\item Lien avec le travail : $\delta W(\overrightarrow{F})_R = P(\overrightarrow{F})_R\mathrm{d}t$
%\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Energie cinétique
\begin{enumerate}[1. ]
\item $E_C(M)_R = \frac{1}{2}mv(M)^2_R$
\item Dans un \textbf{référentiel galiléen}
\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{2}
\item $\dert{E_C(M)_R} = \sum P(\overrightarrow{F})$
\item $\mathrm{d}E_C = \sum\delta W(\overrightarrow{F})$
\item $E_C(t_2) - E_C(t_1) = \sum W(\overrightarrow{F})_{t_1 \rightarrow t_2}$
%\end{multicols}
\end{enumerate}
\item Dans un \textbf{référentiel non galiléen}
\begin{enumerate}
\item $\dert{E_C(M)_R} = P(\sum \overrightarrow{F}) + P(\overrightarrow{F}_{ie})$
\item $E_C(t_2) - E_C(t_1) = W(\sum \overrightarrow{F}) + W(\overrightarrow{F}_{ie})$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item Force conservative et énergie potentielle
\begin{enumerate}[1. ]
\item Si $\overrightarrow{F}$ est conservative alors $\overrightarrow{F} = -\grad E_{\mathrm{pot}}(P)$
\item $\mathrm{d}E_{\mathrm{pot}} = -\overrightarrow{F} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OM}$\footnote{Ceci découle de la définition du gradient : $\mathrm{d}f = \grad f \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OM}$} \\
\noindent $\phantom{\mathrm{d}E_{\mathrm{pot}} } = -\delta W(\overrightarrow{F})$
\item Théorème de l'énergie mécanique : \\
\noindent $\dert{E_m} = P(\overrightarrow{F}_{\mathrm{nc}})$
\item $E_{\mathrm{pp}} = mgz + \mathrm{cte}$ ($\overrightarrow{e_z}$ ascendent)
\item $E_{\textrm{p élastique}} = \frac{1}{2}k(l - l_0)^2 + \mathrm{cte}$
\item $E_{\mathrm{pa}} = -\frac{1}{2}m\omega ^2r^2 + \mathrm{cte}$
\end{enumerate}

\item Équilibre d'un point matériel
\begin{enumerate}[1. ]
\item Si $M$ est repéré par une seule coordonnée $x$ alors les positions d'équilibres sont telles que \sloppy{$\derive{E_P}{x} = 0$} \\
\noindent La position est dite \og stable \fg si $\derivesec{E_P}{x} > 0$ \\
\noindent La position est dite \og instable \fg si $\derivesec{E_P}{x} < 0$
\end{enumerate}

\item Interaction gravitationnelle
\begin{enumerate}[1. ]
\item $\overrightarrow{F}_{A \rightarrow B} = -G\frac{m_Am_B}{r^2}\overrightarrow{u}_{AB}$
\item $\overrightarrow{\mathcal{G}}(M) = -G\frac{m_O}{r^2}\overrightarrow{e_r} = -\grad V$ \\
\noindent soit $V = -G\frac{m_0}{r} + \mathrm{cte}$
\item $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{\mathcal{G}} = -\grad E_P$ \\
\noindent soit $E_P = mV = -G\frac{m_Om}{r} + \mathrm{cte}$
\end{enumerate}

\item Interaction électromagnétique
\begin{enumerate}[1. ]
\item $\overrightarrow{F} = q\left[ \overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{B} \right]$
\item Changement de référentiel galiléen : \\
\noindent $\overrightarrow{E}_{R'} = \overrightarrow{E}_R + {\overrightarrow{v}_e}_{R'/R} \wedge \overrightarrow{B}_R$ \\
\noindent $\overrightarrow{B}_{R'} = \overrightarrow{B}_R$
\item $E_{\textrm{p élec}} = qV$
\item $\delta W = -\mathrm{d}E_p \Rightarrow W_{A\rightarrow B} = -q\int_A^B\mathrm{d}V = qU_{AB}$
\item $\overrightarrow{E} = -\grad V$
\item $\diff{V} = -\overrightarrow{E} \cdot \diff{\overrightarrow{OM}}$
\end{enumerate}

\item Mouvement des porteurs de charge dans un conducteur
\begin{enumerate}[1. ]
\item $\mathrm{d}N = n\mathrm{d}v$ avec $n$ densité volumique de porteurs, $\mathrm{d}v$ le volume considéré
\item $\overrightarrow{v} = \mu\overrightarrow{E}$ avec $\mu = \frac{q\tau}{m}$ la mobilité des porteurs
\item $\overrightarrow{\jmath} = nq\overrightarrow{v} = \rho\overrightarrow{v}$ la densité volumique de courant ($\rho = nq$ est la densité volumique de charge)
\item $I = \int\!\!\!\int_S\overrightarrow{\jmath} \cdot \mathrm{d}S\overrightarrow{n}$ \\
\noindent dans un cas simple : $I = jS$
\item Loi d'Ohm locale : $\overrightarrow{\jmath} = \sigma\overrightarrow{E}$ \\
\noindent avec $\sigma = \frac{nq^2\tau}{m}$ la conductivité électrique
\item Loi d'Ohm intégrale : $I = \int\!\!\!\int_S\overrightarrow{\jmath}\cdot\overrightarrow{n}\mathrm{d}S$ \\
\noindent $I = \frac{\sigma S}{l}U$
\item $G = \frac{\sigma S}{l}$
\item $R = \frac{l}{\sigma S}$
\item Force de Laplace : $\mathrm{d}\overrightarrow{F} = \overrightarrow{\jmath}\wedge\overrightarrow{B}\mathrm{d}v$ \\
\noindent Pour un conducteur filiforme : $\overrightarrow{\jmath}\cdot\mathrm{d}v = \overrightarrow{\jmath}\cdot S \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l} = I \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}$ \\
\noindent soit $\mathrm{d}\overrightarrow{F} = I \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l} \wedge \overrightarrow{B}$
\end{enumerate}

\item Mécanique au voisinage de la Terre
\begin{enumerate}[1. ]
\item $\overrightarrow{g} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}$\\
\noindent avec $\overrightarrow{A} = \overrightarrow{\mathcal{G}}_{\textrm{Terre}} - \overrightarrow{\Omega} \wedge (\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{GM})$ \\
\noindent et $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{\mathcal{G}}_{\textrm{Astres}} - \overrightarrow{a}(G)_{R_C}$
\item Force de Coriolis : $\overrightarrow{F} = -2m\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{v}(M)_{R_T}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{document}