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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\pagestyle{empty}
 
\begin{document}
\begin{center}
\texttitle{Induction électromagnétique}
\end{center}
 
\begin{enumerate}[I. ]
\item \textsb{Loi d'\textsc{Ohm} pour un conducteur en mouvement}
\begin{itemize}
\item \fbox{$\displaystyle \vec{E}_m = -\frac{∂A}{∂t} + \vec{V}_e\wedge\vec{B}$}
\item \fbox{$\displaystyle \vec{j} = σ\left( \vec{E} + \vec{V}_e\wedge\vec{B} \right)$}
\end{itemize}

\item \textsb{Force électromotrice pour un conducteur filiforme}
\begin{itemize}
\item \fbox{$\displaystyle e_{AB} = \int_A^B\vec{E}_m\cdot d\vec{l}$}
\item Loi d'\textsc{Ohm} généralisée~: \fbox{$\displaystyle V_A - V_B = R_{AB}i - e_{AB}$}
\item Loi de \textsc{Faraday}~: \fbox{$\displaystyle e = -\frac{dΦ}{dt}$} (définition de $e$ puis Stokes)
\item Flux propre~: \fbox{$\displaystyle Φ = Li$} avec $L$ l'inductance propre du circuit (définition de $Φ$, Stokes)
\item Inductance propre d'une bobine\\
$\displaystyle B = μ_0nI \Rightarrow Φ = \iint_{N \text{spires}}\vec{B}\cdot d\vec{S} = Nμ_0\frac{N}{l}IS \equiv LI$ \\
d'où \fbox{$\displaystyle L = \frac{µ_0N^2S}{l}$}
\item Pour une bobine~: \fbox{$\displaystyle u_{AB} = L\frac{di}{dt}$}
\item Théorème de \textsc{Neumann}~: $\displaystyle M_{2\rightarrow 1} = M_{1 \rightarrow 2} = M$ (inductance mutuelle de deux circuits)
\item Coefficient de couplage de deux circuits en influence~: \fbox{$\displaystyle α = \frac{|M|}{\sqrt{L_1L_2}}$}
\end{itemize}

\item \textsb{Bilan énergétique}
\begin{itemize}
\item \fbox{$\displaystyle dP = d\vec{F}_{\text{Laplace}}\cdot \vec{V}_e + \vec{j}\cdot\vec{E}_m dτ = 0$}
\item Bilan auxiliaire~: \fbox{$\displaystyle dP_{\text{Laplace}} + dP_{\text{fem}} = 0$}
\end{itemize}

\item \textsb{Le transformateur}
\begin{itemize}
\item Loi des tensions~: \fbox{$\displaystyle \frac{u_2}{u_1}=\frac{N_2}{N_1}$}\\
{\small (l'écriture des lois des tensions c'est-à-dire $u_1 = L_1\frac{di_1}{dt} + M\frac{di_2}{dt}$ donne $\frac{u_2}{u_1}=\frac{M}{L_1}$. On se place alors dans le cas d'un couplage parfait c'est-à-dire $|M| = \sqrt{L_1L_2}$ et on utilise l'expression de l'inductance d'une bobine)}
\item Loi des courants~; \fbox{$\displaystyle \frac{i_2}{i_1} = -\frac{N_1}{N_2}$}\\
{\small (Théorème d'\textsc{Ampère} donne $\oint\vec{H}\cdot d\vec{l} = N_1i_1-N_2i_2$ or $H \rightarrow 0$ car $µ_r \rightarrow +∞$)}
\begin{multicols}{2}
\item Impédance ramenée\\
\scalebox{0.5}{\begin{pspicture}(0,0)(6,3.3)
\pnode(0,0){E1}
\pnode(0,3){E2}
\circledipole[labeloffset=0](E1)(E2){$\sim$}
\pnode(2,3){A}
\pnode(2,0){B}
\pnode(3,3){C}
\pnode(3,0){D}
\wire[intensity,intensitylabel=$i_1$](E2)(A)
\wire(E1)(B)
\transformer(A)(B)(C)(D){$\mathcal{T}$}
\pnode(6,0){S1}
\pnode(6,3){S2}
\wire[intensity,intensitylabel=$i_2$](S2)(C)
\wire(S1)(D)
\resistor[labeloffset=0](S1)(S2){$Z_2$}
\end{pspicture}}\\
$\displaystyle \underline{u}_2 = n\underline{u}_1 = -\underline{Z}_2\underline{i}_2 = \underline{Z}_2\frac{i_1}{n}$ \\
d'où \fbox{$\displaystyle \frac{\underline{u}_1}{\underline{i}_1} = \underline{Z}_1 = \frac{\underline{Z}_2}{n^2}$}
\item Transformateur réel~:
\begin{itemize}
\item Pertes par effet \textsc{Joule}, «~pertes cuivre~»~: $P_{Cu} = r_1i_1^2+r_2i_2^2$
\item Pertes magnétiques (courants de \textsc{Foucault} et pertes par hystérésis), «~pertes fer~»~: $P_{Fe}$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{document}