\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\pagestyle{empty}

\DeclareMathOperator{\grad}{\overrightarrow{\text{grad}}}
\DeclareMathOperator{\rot}{\overrightarrow{\text{rot}}}
\DeclareMathOperator{\divergence}{div}
\renewcommand{\div}{\divergence}
\let\tmp=\theta
\let\theta=\vartheta
\let\vartheta=\tmp
\let\tmp=\rho
\let\rho=\varrho
\let\varrho=\tmp
\newcommand{\circled}[1]{%
\scalebox{0.5}{%
\begin{picture}(10,10)(0,0)
\put(5,5){\circle{16}}
\put(2.4,2.4){#1}
\end{picture}}}
\newcommand{\theoremeC}[2]{%
\ensuremath
\mbox{\circled{H} }
\left\{\begin{array}{l}
#1
\end{array}
\right.
\mbox{ \circled{C} }
#2
}
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}\mathrm{e}}

\begin{document}
\begin{center}
\texttitle{Mécanique des fluides}
\end{center}

\begin{enumerate}[I. ]
\item \textsb{Statique des fluides}
\begin{itemize}
\item \begin{tabbing} Force de pression~: \= $d\vec{F} = P(M) dS \vec{n}$ \\
						     \> $d\vec{F}_P = -\grad P dτ$ \end{tabbing}
\item Relation fondamentale de la statique~: \fbox{$\grad P = \vec{f}_v$}
\item Cas particulier fréquent~: $\grad P = ρ\vec{g} \Rightarrow P(z) = P_0 - ρgz$ (axe vers le haut)
\end{itemize}

\item \textsb{Généralités sur la cinématique des fluides}
\begin{itemize}
\item \fbox{$\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{∂\vec{v}}{∂t} + (\vec{v} \cdot \grad ) \vec{v} = \frac{∂\vec{v}}{∂t} + \grad \frac{v^2}{2} + \rot \vec{v} \wedge \vec{v}$}
\item \fbox{$\vec{Ω} = \frac{1}{2} \rot \vec{v}$}
\item $\vec{\jmath}(M) = ρ(M)\vec{v}(M)$
\item Débit massique~: \fbox{$\displaystyle D_m = \frac{dm}{dt} = \iint_S\vec{\jmath}\cdot d\vec{S}$}
\item Débit volumique~: \fbox{$\displaystyle D_v = \frac{dV}{dt} = \iint_S\vec{v}\cdot d\vec{S}$}
\item Pour les fluides incompressibles~: $D_m = ρD_v$
\item Conservation de la masse~: \fbox{$\div \vec{\jmath} + \frac{∂ρ}{∂t} = 0$}
\end{itemize}

\item \textsb{Écoulements}
\begin{itemize}
\item Écoulement incompressible
\begin{enumerate}[i. ]
\item $\frac{dρ}{dt} = 0$
\item \fbox{$\div \vec{v} = 0$}
\item Conservation du débit volumique~: $D_v = SV = S_1V_1 + S_2V_2$ (loi des nœuds)
\end{enumerate}
\item Écoulement irrotationnel
\begin{enumerate}[i. ]
\item $\vec{Ω} = \vec{0}$
\item $\vec{v} = - \grad φ$
\item Si de plus $\div \vec{v} = 0$ alors $Δφ = 0$ (équation de \textsc{Laplace})
\end{enumerate}
\item Écoulement rotationnel
\begin{enumerate}[i. ]
\item $\vec{Ω} ≠ \vec{0}$
\item $\displaystyle \mathcal{C} = \oint \vec{v} \cdot d\vec{l} = 2 \iint \vec{Ω} d\vec{S} ≠ 0$
\item Cas particulier~: $\vec{v} = \frac{U}{r}\vec{u}_{θ}$ \\
$\rot \vec{v} = \vec{0}$ si $r = 0$ ; $\rot \vec{v} ≠ \vec{0}$ en $r=0$.\\
Un tube de tourbillon de très petite taille est appelé \emph{vortex}.
\end{enumerate}
\end{itemize}

\pagebreak
\item \textsb{Dynamique des fluides}
\begin{itemize}
\item Équation d'\textsc{Euler}~: \fbox{$ρ\frac{d\vec{v}}{dt} = ρ\vec{g} - \grad P + \vec{f}_a$}
\item Théorème de \textsc{Bernoulli} \\
$\theoremeC{\mbox{Fuide parfait} \\
\vec{f}_a = \vec{0} \\
\mbox{Écoulement permanent } \frac{∂\vec{v}}{∂t} = \vec{0}\\
\mbox{Écoulement incompressible } ρ = \text{cte}}{\frac{v^2}{2} + gz + \frac{P}{ρ} = K(L)}$\\
$\theoremeC{\mbox{Fuide parfait} \\
\vec{f}_a = \vec{0} \\
\mbox{Écoulement permanent } \frac{∂\vec{v}}{∂t} = \vec{0}\\
\mbox{Écoulement incompressible } ρ = \text{cte}\\
\mbox{Écoulement irrotationnel } \vec{Ω} = \vec{0}}{\frac{v^2}{2} + gz + \frac{P}{ρ} = K}$
\item Théorème d'\textsc{Euler}~: $\frac{d\vec{p}}{dt} = D_m(\vec{v}_2 - \vec{v}_1)$ (sortie - entrée)
\end{itemize}

\item \textsb{Notions sur les fluides réels}
\begin{itemize}
\item Traînée d'une sphère dans un fluide~:
\begin{itemize}
\item \fbox{$\vec{F} = -6πηr\vec{v}$} pour une «~vitesse faible~»
\item \fbox{$\vec{F} = -\frac{1}{2}ρπr^2v\vec{v}$} pour une «~vitesse élevée~»
\end{itemize}
\item $ν = \frac{η}{ρ}$
\item Nombre de \textsc{Reynolds}~: $\Re = \frac{ρLv}{η} = \frac{Lv}{ν}$
\item Expression générale de la traînée~: \fbox{$F = C_x \frac{ρv^2}{2} S$}
\item Écoulement laminaire~: $\Re < 1$ et $C_x = \frac{k}{\Re}$ \\
Alors $F = \frac{k}{2}ηLv$
\item Écoulement turbulent~:$\Re > 1000$ et $C_x = 1$ (pour une sphère) \\
Alors $F = \frac{ρv^2}{2}\cdot S$
\item Expression surfacique de la force de viscosité~: \fbox{$d\vec{F}_{1\rightarrow 2} = η\frac{∂v_x}{∂t}dS \vec{u}_x$}
\item Expression volumique de la force de viscosité~: \fbox{$\vec{f}_v = ηΔ\vec{v}$}
\item Équation de \textsc{Navier-Stokes}~: \fbox{$ρ\left( \frac{∂\vec{v}}{∂t} + (\vec{v} \cdot \grad)\vec{v}\right) = ρ\vec{g} - \grad P + ηΔ\vec{v}$}
\item Couche limite~: \fbox{$δ = \frac{L}{\sqrt{\Re}}$}
\end{itemize}
\end{enumerate}

\end{document}