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% Définitions mathématiques
\let\oldvec\vec
\let\vec\overrightarrow
\let\tmp=\theta
\let\theta=\vartheta
\let\vartheta=\tmp
\newcommand{\diff}[1]{\ensuremath\mathrm{d}#1}
\newcommand{\altdiff}[1]{\ensuremath\textrm{\selectlanguage{greek}δ\selectlanguage{french}}#1}
\newcommand{\variation}[1]{\ensuremath\Delta #1}
\newcommand{\derpar}[3]{\ensuremath\left(\frac{\partial\, #1}{\partial\, #2}\right)_{#3}}
\newcommand{\derparsec}[3]{\ensuremath\left(\frac{\partial^2\, #1}{\partial{#2}^2}\right)_{#3}}
\newcommand{\grad}{\ensuremath\overrightarrow{\mathrm{grad}}}
\everymath{\displaystyle}

\begin{document}
\begin{center}
\texttitle{Électrostatique — Magnétostatique}
\end{center}

\begin{enumerate}[I. ]
\item Symétrie et invariances
\begin{enumerate}[1. ]
\item Invariance par toute translation d'axe $(Oz)$ alors $ρ$ est indépendant de $z$.
\item Invariance par toute rotation autours de l'axe $(Oz)$ alors $ρ$ est indépendant de $θ$.
\item Une distribution a une symétrie cylindrique autours d'un axe $Δ$ si elle est invariante par translation et par rotation d'axe $Δ$. $ρ$ est alors indépendant de $θ$ et de $z$ donc $ρ = ρ(r)$ (en coordonnées cylindrique)
\item Une distribution a une symétrie sphérique autours d'un point $O$ si elle est invariante par rotation autours de tout axe passant par $O$ alors $ρ = ρ(r)$ (en coordonnées spériques)
\item Si $M$ est dans un plan de symétrie alors $\overrightarrow{E}_{\perp}(M) = \overrightarrow{0}$
\item Si $M$ est dans un plan d'antisymétrie alors $\overrightarrow{E}_{//} = \overrightarrow{0}$
\end{enumerate}
\item Circulation
\begin{itemize}
\item $C(\overrightarrow{E})_Γ = \int_{Γ(A \rightarrow B)}\overrightarrow{E}(M) \cdot \diff{\overrightarrow{OM}} = \frac{q}{4πε_0}\left( \frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B} \right)$
\item $\oint\overrightarrow{E} \cdot \diff{OM} = \overrightarrow{0}$
\item $V(M) = \frac{q}{4πε_0r} + \mathrm{cte}$ (spérique)
\item $C(\overrightarrow{E})_{A \rightarrow B} = V_A - V_B$
\item $\overrightarrow{E} \cdot \diff{\overrightarrow{OM}} = -\diff{V}$
\item $\overrightarrow{E} = -\grad(V)$
\item $\overrightarrow{F}(M) = q\overrightarrow{E} = -\grad{E_P}$ avec $E_P = qV$
\end{itemize}
\item Flux
\begin{itemize}
\item Angle solide $Ω = \frac{S_r}{r^2}$ et $\diff{Ω} = \frac{\diff{S}(\vec{N}\cdot\vec{e_r})}{r^2}$
\item Angle solide total $4π$
\item Pour une surface fermée, l'angle solide vaut $0$ si le point est à l'intérieur, $4π$ sinon.
\item $\diff{Φ} = \vec{E}\cdot\diff{\vec{S}} = \frac{q}{4πε_0}\diff{Ω}$
\item $Φ(\vec{E})_S = \frac{q}{4πε_0}Ω$ avec Ω l'angle solide de $S$ depuis le point $O$.
\item \textsc{Théorème de Gauss} $Φ(\vec{E})_{S \textrm{fermée}} = \oiint_S\vec{E}\cdot\diff{\vec{S}} = \frac{Q_{\mathrm{int}}}{ε_0}$
\item Conséquence : discontinuité du champ à travers une surface fermée $\vec{E}_2 - \vec{E}_1 = \frac{σ}{ε_0}\vec{n}_{1 \rightarrow 2}$
\end{itemize}
\item Calculs de champ et potentiel pour une distribution continue
\begin{itemize}
\item $\overrightarrow{E}(M) = \frac{1}{4πε_0}\iiint_{\mathrm{V}}\frac{ρ(P)\diff{τ}\overrightarrow{PM}}{PM^3}$
\item $V(M) = \frac{1}{4πε_0}\iiint_V\frac{ρ(M)\diff{τ}}{PM}$
\item Pour une distribution qui possède des symétries et invariances, on peut trouver une surface fermée adaptée qui permet de déduire le champ directement par application de théorème de Gauss.
\end{itemize}

\item Dipôles électrostatiques
\begin{itemize}
\item $\vec{p} = q \cdot \vec{NP}$
\item Si $\vec{p} = qd\vec{e_z}$ alors
\begin{itemize}
\item $V(M) = \frac{p \cos θ}{4 π ε_0 r^2}$ (en coordonnées sphériques)
\item $\vec{E}(M) = \frac{p \left( 2 \cos θ \vec{e_r} + \sin θ \vec{e_θ} \right)}{4πε_0r^3}$
\end{itemize}
\item Expression intrinsèque
\begin{itemize}
\item $V(M) = \frac{\vec{p}\cdot\vec{OM}}{4 π ε_0 OM^3}$
\item $\vec{E}(M) = \frac{3(\vec{p}\cdot\vec{OM})\vec{OM} - (OM)^2\vec{p}}{4πε_0(OM)^5}$
\end{itemize}
\item Force subie par le dipôle : $\left( \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{E}$
\item Moment subi par le dipôle : $\vec{Γ} = \vec{p} \wedge \vec{E}$
\item Énergie potentielle d'un dipôle rigide dans un champ : $E_P = -\vec{p}\cdot\vec{E}$
\end{itemize}
\newpage
\item Courant électrique
\begin{itemize}
\item $\diff{Q} = I(t)\diff{t}$
\item Distribution volumique $\diff{I} = \vec{j} \cdot \diff{S} \vec{n}$
\item $\vec{j} = ρ\vec{v}$
\item $\diff{\vec{C}} = \vec{j}\diff{τ}$
\item Distribution surfacique $\diff{I} = \vec{j_S} \cdot \diff{l} \vec{n}$
\item $\vec{j_S} = σ\vec{v}$
\item $\diff{\vec{C}} = \vec{j_S}\diff{S}$
\item Distribution linéïque $\vec{I} = I \vec{τ}$
\item $\vec{I} = λ\vec{v}$
\item $\diff{\vec{C}} = \vec{I}\diff{l}$
\end{itemize}

\item Le champ magnétique
\begin{itemize}
\item Particule chargée $\vec{F} = q \vec{v}(A)_R \wedge \vec{B}(M)$
\item Élément de circuit $\vec{F} = I \diff{\oldvec{l}} \wedge \vec{B}(M)$
\item Biot et Savart $\diff{\oldvec{B}(M)} = \frac{μ_0}{4π}\diff{\oldvec{C}}(P) \wedge \frac{\vec{PM}}{PM^3}$
\item $μ_0 = 4π\cdot 10^{-7} \, \henry\per\metre$
\end{itemize}

\item Symétries et invariances en magnétostatique
\begin{itemize}
\item Un plan de symétrie $Π$ pour la distribution de courant est un plan d'antisymétrie pour le champ $\vec{B}$

\noindent En particulier, pour $M \in Π$ on a $\vec{B} \perp Π$
\item Un plan d'antisymétrie $Π^*$ pour la distribution de courant est un plan de symétrie pour le champ $\vec{B}$

\noindent Pour $M \in Π^*$ on a $\vec{B} \parallelslant Π^*$
\end{itemize}

\item Quelques champs usuels
\begin{itemize}
\item Fil rectiligne infini $\vec{B}(M) = \frac{μ_0I}{2πr}\vec{e_θ}$
\item Spire circulaire (sur l'axe) $\vec{B}(M) = \frac{μ_0I}{2R}\sin^3α\vec{e_z}$
\item Solénoïde (sur l'axe) $\vec{B}(M) = μ_0nI\vec{e_z}$
\end{itemize}

\item Circulation et flux
\begin{itemize}
\item Le flux du champ magnétostatique est conservatif $\oiint\vec{B}\cdot\diff{S}\vec{n} = 0$
\item Conséquence $\vec{B} = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}$ avec $A$ potentiel vecteur
\item \textsc{Théorème d'Ampère} $\oint_Γ\vec{B}\cdot\diff{\oldvec{l}} = μ_0I_{\text{enlacée}}$
\item Discontinuité du champ à travers une surface $\vec{B_2} - \vec{B_1} = μ_0\vec{j_S}\wedge\vec{n}_{1 \rightarrow 2}$
\end{itemize}

\item Dipôle magnétostatique
\begin{itemize}
\item Moment magnétique : $\vec{m} = I \cdot \vec{S}$
\item Spire de rayon $a$ : $\vec{m} = πa^2I\vec{n}$
\item Champ créé par le dipôle $\vec{B}(M) = \frac{μ_0m}{4π}\frac{2\cos θ \vec{e_r} + \sin θ \vec{e_θ}}{r^3}$
\item Autre expression : $\vec{B}(M) = \frac{μ_0}{4π}\frac{3(\vec{m} \cdot \vec{e_r})\vec{e_r} - \vec{m}}{r^3}$
\item Énergie potentielle du dipôle placé dans un champ $E_P = -\vec{m}\cdot\vec{B}$
\item Moment appliquée au dipôle $\vec{Γ} = \vec{m} \wedge \vec{B}$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\end{document}