\documentclass{article}
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\setmarginsrb{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{0cm}{0cm}{0cm}{0cm}
\pagestyle{empty} \DeclareMathOperator{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\DeclareMathOperator{\rg}{\textbf{\emph{rg}}}
\newcommand\vincentdots
   {\mathinner{\mkern1mu
       \raise 1pt\hbox{.}\mkern2mu
       \raise 4pt\hbox{.}\mkern2mu
       \raise 7pt\hbox{.}\mkern1mu}}


\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ PC* \hspace{6cm} Planche N°3 \hspace{8cm}
V. Tejedor}
\par
\end{center}
\medskip
\begin{center}
\begin{boxedminipage}{19cm}
\begin{center}
\large \textbf{Déterminants} \normalsize
\end{center}
\begin{enumerate}[ 1.]
\item Soit $M = [a_{i,j}] \in \mathcal{M}_{n} (\mathbb{K})$. On
pose $M(x) = \det [a_{i,j} + x]$. montrer que $M(x)$ est un
polinôme de degré au plus un en $x$ en retranchant la première
colonne à toutes les autres

\emph{\textbf{Principe : }} Suivre le principe et développer selon
la première colonne

\item Soit $M= [ \sup \{i,j\} ] \in \mathcal{M}_{n} (\mathbb{K})$.
Calculer $\det (M)$

\emph{\textbf{Principe : }} $\left | \begin{array}{cccc} 1 & 2 &
\hdots & n \\ 2 & 2 &  & \vdots \\ \vdots &  & \ddots & \vdots \\
n
& \hdots & \hdots & n\\
\end{array} \right | = \left | \begin{array}{cccc} 1 & 1 &
 & (1) \\ 2 & 0 & \ddots & \\ \vdots & (0) & \ddots & 1 \\
n & 0 & \hdots & 0\\
\end{array} \right | = (-1)^{n+1} n$ \\ On fait successivement
$C_{i+1} \leftarrow C_{i+1} - C_{i}$, puis développement par
rapport à la dernière ligne

\item Calculer le déterminant de la matrice $A$ définie par
$a_{i,j} = x_{i}^{j-1} \mbox{ où } x_{1},x_{2},...,x_{n} \mbox{
sont } n$ réels. (Vandermonde)

\emph{\textbf{Principe : }}\begin{description}
    \item[$1^{ère}$ Méthode : ] $ C_{i} \leftarrow C_{i} - x_{1}
    C_{i-1}$, développement par rapport à la première ligne,
    factorisation et conclusion par récurrence
    \item[$2^{ème}$ Méthode : ] $\displaystyle C_{n} \leftarrow \sum_{i=1}^{n-1}
    a_{i} x^{i}$ Alors, $\displaystyle A = \begin{vmatrix}
      1 & x_{1} & \hdots & P(x_{1}) \\
      | & \vdots &  & \vdots \\
      1 & x_{n} & \hdots & P(x_{n}) \\
    \end{vmatrix} \mbox{ avec } P : X \longmapsto \prod_{i=1}^{n-1}
    (X-x_{i})$\\Puis développement par rapport à la dernière
    colonne, et conclusion par récurrence.
\end{description}

\item Calculer le déterminant suivant : $\begin{vmatrix}
  1 & a & a^{2} & a^{3} \\
  a^{3} & 1 & a & a^{2} \\
  a^{2} & a^{3} & 1 & a \\
  a & a^{2} & a^{3} & 1 \\
\end{vmatrix}$

\emph{\textbf{Principe : }} $L_{i} \leftarrow L_{i} - a L_{i+1}, i
\in [1,3] \bigcap \mathbb{N}$

\item Calculer le déterminant suivant $\begin{vmatrix}
  a^{2} & a b & a b & b^{2} \\
a b & a^{2} & b^{2} & a b \\
a b & b^{2} & a^{2} & a b \\
  b^{2} & a b & a b & a^{2} \\
\end{vmatrix}$

\emph{\textbf{Principe : }} $\displaystyle C_{1} \longleftarrow
C_{1} - C_{4} \mbox{ et } C_{2} \longleftarrow C_{2} - C_{3}$.
Factoriser $\displaystyle (a^{2} - b^{2})^{2}$, puis
$\displaystyle C_{1} \longleftarrow \sum_{i=1}^{4} C_{i}$.
Factoriser $\displaystyle ( a + b )^{2}$, continuer avec un
développement selon la première ligne puis $\displaystyle C_{2}
\longleftarrow C_{2} - C_{3}$. Enfin développement selon la
première colonne. \\On obtient $\displaystyle (a^{2} -
b^{2})^{4}$...

\item On donne $a,b,c$ et une matrice $M \in \mathcal{M}_{n} (
\mathbb{K} ), M=\begin{bmatrix}
  a & b & \hdots & b & b \\
  c & a & \ddots & b & b \\
  \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
  c & c & \ddots & a & b \\
  c & c & \hdots & c & a \\
\end{bmatrix}$. Calculer $\det (M)$ en utilisant l'exercice 1 si
$b \neq c$

\emph{\textbf{Principe : }}\begin{description}
    \item[$b \neq c$] On utilise le fait que $M(x)$ soit un
    polynôme du premier degré de la forme $M(x) = \lambda x + \det (M)$, et on calcule $M(-b) \mbox{ et }
    M(-c)$. On obtient $\left \{ \begin{array}{l}
- \lambda b + \det (M) = (a-b)^{n}\\
- \lambda c + \det (M) = (a-c)^{n}
    \end{array} \right .$, d'où $\det (M)$
    \item[$b = c$] $\displaystyle C_{1} \longleftarrow \sum_{i=1}^{n}
        C_{i}$, factoriser par $a + (n-1) b$, puis $L_{i} \longleftarrow L_{i} -
        L_{i+1}$, et développement selon la $1^{\footnotesize \mbox{ère} \normalsize}$ ligne
\end{description}

\item Soit $M = [ a_{i}^{j} ] \in \mathcal{M}_{n} ( \mathbb{K} )$
avec $a_{i,j} = \inf (i,j)$. Calculer $\det (M)$ en remarquant que
$ M = T ^{t}T$ avec $T = \begin{bmatrix}
  1 & 0 & \hdots & 0 & 0 \\
  1 & 1 & \ddots & 0 & 0 \\
  \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
  1 & 1 & \ddots & 1 & 0 \\
  1 & 1 & \hdots & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}$

\emph{\textbf{Principe : }} Suivre la remarque...

\end{enumerate}
\end{boxedminipage}

\newpage

\begin{boxedminipage}{19cm}
\begin{enumerate}[ 1.]
\setcounter{enumi}{7}

 \item Montrer que $\displaystyle \det
[\delta_{i,j} + a_{i} b_{j}] \mbox{ vaut } 1 + \sum_{i=1}^{n}
a_{i} b_{i}$ en utilisant la $n$-linéarité du déterminant et le
vecteur $\displaystyle \overrightarrow{a} = \sum_{i=1}^{n} a_{i}
\overrightarrow{e_{i}}$

\emph{\textbf{Principe : }} $\displaystyle \det [ \delta_{i,j} +
a_{i} b_{j}] = \det [\overrightarrow{e_{1}} + b_{1}
\overrightarrow{a} , ... , \overrightarrow{e_{n}} + b_{n}
\overrightarrow{a}] = \det [\overrightarrow{e_{1}}, ... ,
\overrightarrow{e_{n}} ] + \sum_{i=1}^{n} b_{i} \det
[\overrightarrow{e_{1}},...,\overrightarrow{e_{i-1}},\overrightarrow{a},\overrightarrow{e_{i+1}},...,\overrightarrow{e_{n}}]
= 1 + \sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$

\item Calculer le déterminant $D_{4} = \begin{vmatrix}
  a+b & a b & 0 & 0 \\
  1 & a+b & a b & 0 \\
  0 & 1 & a+b & a b \\
  0 & 0 & 1 & a+b \\
\end{vmatrix}$.\\ Généraliser par récurrence ce résultat au calcul
d'un déterminant d'ordre $n$ de ce type \\
Calculer $\begin{vmatrix}
  1 & 2 & \hdots & n-1 & n \\
  n & 1 & 2 & \hdots & n-1 \\
  \vdots & n & \ddots & \ddots & \vdots \\
  3 & \vdots & \ddots & 1 & 2 \\
  2 & 3 & \hdots & n & 1 \\
\end{vmatrix}$

\emph{\textbf{Principe : }}
\begin{dinglist}{221}
\item On remarque que $D_{n} - (a+b) D_{n-1} + a b D_{n-2} = 0$,
$D_{1} \mbox{ et } D_{2}$ sont faciles à calculer. \item
Déterminant du dessous : $ \displaystyle L_{1} \longleftarrow
\sum_{i=1}^{n} L_{i} \mbox{ puis } C_{i} \longleftarrow C_{i} -
C_{i+1} $ et on se ramène ainsi à l'exercice 6. b)
\end{dinglist}

\item Calculer $\begin{vmatrix}
  x & a_{1} & \hdots & a_{n-1} & a_{n} \\
  a_{1} & x & \hdots & a_{n-1} & a_{n} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
  a_{1} & a_{2} & \hdots & x & a_{n} \\
  a_{1} & a_{2} & \hdots & a_{n} & x \\
\end{vmatrix}$

\emph{\textbf{Principe : }} $\displaystyle C_{1} \longleftarrow
\sum_{i=1}^{n} C_{i} \mbox{ puis } C_{k} \longleftarrow C_{k} -
a_{k} C_{1} \Rightarrow$ matrice triangulaire

\item Soit $M = \begin{bmatrix}
  a & 0 & \hdots & \hdots & 0 & b \\
  0 & \ddots & 0 & 0 & \vincentdots & 0 \\
  \vdots & 0 & a & b & 0 & \vdots \\
  \vdots & 0 & b & a & 0 & \vdots \\
  0 & \vincentdots & 0 & 0 & \ddots & 0 \\
  b & 0 & \hdots & \hdots & 0 & a \\
\end{bmatrix} \in \mathcal{M}_{2n} (\mathbb{K} ) $ Calculer $\det
( M )$

\emph{\textbf{Principe : }} $\forall i \in [1,n] \bigcap
\mathbb{N}, C_{i} \longleftarrow C_{i} + C_{2n+1-i} \mbox{ puis }
L_{n+i} \longleftarrow L_{n+i} - L_{n+1-i} \Rightarrow \det (M) =
\begin{vmatrix}
  a+b & 0 & \hdots & \hdots & 0 & b \\
    & \ddots & (0) & (0) & \vincentdots & 0 \\
    &   & a+b & b & (0) &  \vdots \\
    &   & 0 & a-b & (0) &  \vdots \\
    & (0) &   &   & \ddots & 0 \\
    &   &   &   &   & a-b \\
\end{vmatrix}$

\item En écrivant $\cos (n x)$ en fonction de $\cos (x)$ et en
utilisant le déterminant de Vandermonde, calculer :
\begin{center}
$\begin{vmatrix}
  1 & \cos (a) & \cos (2 a) & \cos (3 a) & \cos (4 a) \\
  1 & \cos (b) & \cos (2 b) & \cos (3 b) & \cos (4 b) \\
  1 & \cos (c) & \cos (2 c) & \cos (3 c) & \cos (4 c) \\
  1 & \cos (d) & \cos (2 d) & \cos (3 d) & \cos (4 d) \\
  1 & \cos (e) & \cos (2 e) & \cos (3 e) & \cos (4 e) \\
\end{vmatrix}$
\end{center}
\emph{\textbf{Principe : }} Linéarisation et Vandermonde...\\
Généralisation : $\displaystyle \partial \mbox{°} P_{k} = k, k \in
[0,n] \bigcap \mathbb{N}, M=[ P_{j-1} (x_{i}) ] \mbox{ alors }
\det (M) = \prod_{1 \leq i <j \leq n} \alpha_{i} (x_{j} - x_{i})$,
où $\alpha_{i}$ est le coeff dominant de $P_{i}$

\end{enumerate}
\end{boxedminipage}

\newpage

\begin{boxedminipage}{19cm}
\begin{enumerate}[ 1.]
\setcounter{enumi}{12}

\item Calculer en utilisant un déterminant de Vandermonde : $\begin{vmatrix}
  1 & a_{1} & \hdots & a_{1}^{p-1} & a_{1}^{p+1} & \hdots & a_{1}^{n} \\
  1 & a_{2} & \hdots & a_{2}^{p-1} & a_{2}^{p+1} & \hdots & a_{2}^{n} \\
  \vdots & \vdots &   & \vdots & \vdots &   & \vdots \\
  1 & a_{n-1} & \hdots & a_{n-1}^{p-1} & a_{n-1}^{p+1} & \hdots & a_{n-1}^{n} \\
  1 & a_{n} & \hdots & a_{n}^{p-1} & a_{n}^{p+1} & \hdots & a_{n}^{n} \\
\end{vmatrix}$

\emph{\textbf{Principe : }} On considère $P (x) = \begin{vmatrix}
  1 & a_{1} & \hdots & a_{1}^{p-1} & a_{1}^{p} & \hdots & a_{1}^{n} \\
  1 & a_{2} & \hdots & a_{2}^{p-1} & a_{2}^{p} & \hdots & a_{2}^{n} \\
  \vdots & \vdots &   & \vdots & \vdots &   & \vdots \\
  1 & a_{n-1} & \hdots & a_{n-1}^{p-1} & a_{n-1}^{p} & \hdots & a_{n-1}^{n} \\
  1 & a_{n} & \hdots & a_{n}^{p-1} & a_{n}^{p} & \hdots & a_{n}^{n} \\
  1 & x & \hdots & x^{p-1} & x^{p} & \hdots & x^{n}\\
\end{vmatrix}$. \\On développe par rapport à la dernière ligne, on
obtient $\displaystyle P(x) = V(a_{1},...,a_{n}) \prod_{k)1}^{n}
(x-a_{k}$ \\Le déterminant cherché est alors le coefficient
d'ordre $p$ de $P(x)$, à savoir $\displaystyle D =
V(a_{1},...,a_{n}) (-1)^{n-p} \sum_{1 \leq i_{1} < ... < i_{n-p}
\leq n} a_{i_{1}}*...*a_{i_{n-p}}$

\item Calculer le déterminant et la trace de l'endomorphisme de
$\mathcal{M}_{n} (\mathbb{K} )$ défini par : $ M \longmapsto ^{t}
M$

\emph{\textbf{Principe : }} On se place dans une base adaptée : $
\mathcal{S}_{n} (\mathbb{K}) \bigoplus
\mathcal{AS}_{n}(\mathbb{K})$\\ La matrice associée à
l'endomorphisme est alors $ \Phi = \begin{bmatrix}
  I_{\frac{n (n+1)}{2}} & 0 \\
  0 & -I_{\frac{n (n-1)}{2}} \\
\end{bmatrix}$ On obtient $\mbox{Tr } (\Phi) = n \mbox{ et } \det (\Phi ) =
(-1)^{\frac{n (n-1)}{2}}$

\item Calculer $\Delta = \begin{vmatrix}
  x + a_{1} & x &   &   & x \\
  x & x + a_{2} &   & (x) &   \\
    &   & \ddots &   &   \\
    &   & (x) & x + a_{n-1} & x \\
  x &   &   & x & x + a_{n} \\
\end{vmatrix}$

\emph{\textbf{Principe : }} On peut dériver $\Delta$, puis
$\displaystyle C_{i} \longleftarrow C_{i} - x C_{k} \Rightarrow
\Delta \mbox{'} = \sum_{k=1}^{n} \begin{vmatrix}
  a_{1} & 0 &  &  &  &  \\
  * & \ddots & \ddots &  & (0) &  \\
   & \ddots & a_{k-1} & 0 &  &  \\
   &  & * & a_{k+1} & \ddots &  \\
   & (*) &  & \ddots & \ddots & 0 \\
   &  &  &  & * & a_{n} \\
\end{vmatrix} = \sum_{k=1}^{n} \prod_{i=1 , i \neq k}^{n} a_{i}$

\item Calculer $\begin{vmatrix}
  x^{2}+1 & x & \hdots & \hdots & x \\
  x & x^{2}+1 & \ddots & (x) & \vdots \\
  \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
  \vdots & (x) & \ddots & x^{2}+1 & x \\
  x & \hdots & \hdots & x & x^{2}+1 \\
\end{vmatrix}$

\emph{\textbf{Principe : }} $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} C_{i}
\longrightarrow C_{1} \mbox{ puis } \forall i \in [2,n] \bigcap
\mathbb{N}, L_{i} \longleftarrow L_{i}-L_{1}$ (cf Ex 6. b) )

\item Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ à coefficient réels
telle que $A^{2} = - I_{n}$. Montrer que n est pair

\emph{\textbf{Principe : }} $ \det (A^{2}) = \det ( A )^{2} =
(-1)^{n} \Rightarrow n$ pair

\item \textbf{5/2} : Soit $f$ un endomorphisme d'un espace
vectoriel réel $E$ de dimension finie $n$ tel que $f^{2} =
-\mbox{Id}_{E}$. Montrer qu'il existe un entier naturel $p$ tel
que $n=2p$ et établir qu'il existe une base de $E$ de la forme
$(x_{1}, f(x_{1}), x_{2}, f(x_{2}),...,x_{p},f(x_{p}) )$

\emph{\textbf{Principe : }} cf Ex 17. pour la première partie.
Pour la base, on construit une famille libre par récurrence. A
l'étape $k$, on a une famille libre de $2(k-1) ( < n)$ vecteur de
$E$. Donc $ \exists x_{k} \in E / (x_{1}, f(x_{1}), x_{2},
f(x_{2}),...,x_{k} )$ soit libre. On montre ensuite par l'absurde
que $(x_{1}, f(x_{1}), x_{2}, f(x_{2}),...,x_{k}, f(x_{k}) )$ est
libre (en composant par $f$ l'égalité de "famille liée" on obtient
$\lambda^{2} = -1, \mbox{ avec } \lambda \in \mathbb{R}$ )

\end{enumerate}
\end{boxedminipage}

\newpage

\begin{boxedminipage}{19cm}
\begin{enumerate}[ 1.]
\setcounter{enumi}{18}

\item Soit $A,B,C$ trois matrices carrées d'ordre $n >1$ telles
que $ A = BC-CB$
\begin{enumerate}[a) ]
    \item Pour $n=2$ montrer par un exemple simple que A peut être
    inversible
    \item Montrer que A ne peut pas être égale à $I_{n}$
    \item Montrer que, si $A$ commute avec $C$, le déterminant de
    $A$ est nul
\end{enumerate}

\emph{\textbf{Principe : }} \begin{enumerate}[a) ] \item $B=\begin{bmatrix}
  1 & 1 \\
  1 & 1 \\
\end{bmatrix} \mbox{ et } C=\begin{bmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 0 \\
\end{bmatrix} \Rightarrow A=\begin{bmatrix}
  0 & -1 \\
  1 & 0 \\
\end{bmatrix}$
\item Tr$(A)=0 \neq n = \mbox{ Tr}(I_{n})$ \item Si $\det (A) \neq
0, A^{-1} C=C A^{-1} \Rightarrow (B A^{-1} ) C - C ( B A^{-1} ) =
I_{n} $. Contradiction avec b)
\end{enumerate}

\item Calculer le déterminant de la matrice $ A= [ \cos ( x_{i} +
x_{j} ]_{1 \leq i,j \leq n} \mbox{ pour } n>2$

\emph{\textbf{Principe : }} On développe le $\cos$ : $C_{j} = \cos
(x_{j}) \begin{bmatrix}
  \cos (x_{1}) \\
  \vdots \\
  \cos ( x_{n}) \\
\end{bmatrix} - \sin (x_{j}) \begin{bmatrix}
  \sin (x_{1}) \\
  \vdots \\
  \sin (x_{n}) \\
\end{bmatrix}$ On en déduit $\rg (A) \leq 2 \Rightarrow \rg (A) <
n$. Donc $ \det (A) =0$

\item Calculer le déterminant de $M=\begin{bmatrix}
  A & B \\
  B & A \\
\end{bmatrix}$ en fonction de ceux de $A-B \mbox{ et } A+B$

\emph{\textbf{Principe : }} $\det \begin{bmatrix}
  A & B \\
  B & A \\
\end{bmatrix} = \begin{vmatrix}
  A+B & B \\
  A+B & A \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
  A+B & B \\
  0 & A-B \\
\end{vmatrix}$

\item Soit $A,B,C,D$ quatre matrices carrées d'ordre $n$. Calculer
$\det M=\begin{bmatrix}
  A & C \\
  B & D \\
\end{bmatrix}$ en fonction de $\det (D A - B C)$ sachant que \begin{description}
    \item[\emph{\textbf{5/2}}] $A \mbox{ et } C$ commutent.
    \item[\emph{\textbf{3/2}}] $A \mbox{ et } C$ commutent et $A$
    est inversible
\end{description}

\emph{\textbf{Principe : }}\\Si $A$ est inversible $\det (M) =
\begin{vmatrix}
  A & C \\
  B & D \\
\end{vmatrix}*\begin{vmatrix}
  A^{-1} & -C \\
  0 & A \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
  I_{n} & 0 \\
  B A^{-1} & D A - B C \\
\end{vmatrix}$\\
Si $A$ n'est pas inversible, soit $\displaystyle r = \inf \{ |
\lambda | , \lambda \in \mbox{Sp} (A) \} \bigcup \{1 \}$. Alors
$\forall x \in ]0,r[, A + x I_{n} \in \mathcal{GL}_{n}
(\mathbb{K})$. On passe ensuite à la limite en 0, en utilisant la
continuité du déterminant

\end{enumerate}
\end{boxedminipage}
\end{center}
\end{document}
