\documentclass{article}
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\setmarginsrb{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{0cm}{0cm}{0cm}{0cm}
\pagestyle{empty} \DeclareMathOperator{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\DeclareMathOperator{\Mat}{\mathcal{M}\textbf{\emph{at}}}
\DeclareMathOperator{\dt}{\emph{dt}}
\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ PC* \hspace{6cm} Planche N°2 \hspace{8cm}
V. Tejedor}
\par
\end{center}
\medskip
\begin{center}
\begin{boxedminipage}{19cm}
\begin{itemize}
    \item \emph{\textbf{Méthode 1 :}} Utiliser 1 et une formule classique. Ex 2.,
    2.bis, ...
    \item \emph{\textbf{Méthode 2 :}} Montrer que $f$ est de classe
    $\mathcal{C}^{1}$ (ou le supposer dans un premier temps) puis
    dériver pour obtenir une équation différentielle. Ex 1-a),
    4-b), 11, ...  \\Dans tout les cas prendre des cas particuliers
    pour obtenir $f(0), f'(0)$ ...
    \item \emph{\textbf{Méthode 3 :}} \textbf{(rare)} Utiliser le cas dégalité
    dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
    \end{itemize}
\medskip
\large \textbf{Fonctions caractérisées par une équation}
\normalsize \\
 Déterminer les fonctions qui vérifient les
propriétés suivantes :
\begin{enumerate}[ 1.]
\item $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et :
\begin{enumerate}[a) ]
    \item $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x+y) = f(x) + f(y)$
    \item $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x+y) = f(x) f(y)$
\end{enumerate}

\emph{\textbf{Principe : }} \begin{description}
    \item[Méthode 1] $f(0) = 0 et f(x) = -f(-x)$ puis $\forall n
    \in \mathbb{N}, f(nx)= nf(x)$ démontré par récurrence.\\ On
    passe ensuite aux rationnels $\forall (p,q) \in \mathbb{Z} \times
    \mathbb{N}^{*}, f(\frac{p}{q} x) = \frac{p}{q} f(x)$, en calculant $f(q * \frac{p}{q} x) = f(p * x)$\\ Enfin la
    continuité de f donne $f(x) = x f(1)$ car tout réel est limite
    d'une suite de rationnels.
    \item[Méthode 2] $f \in \mathcal{C}^{1}
    (\mathbb{R},\mathbb{R})$ démontrer avec $f(x) = \int_{0}^{1} f(x+y) - f(y) \mbox{dy}
    $. Puis dériver l'égalité et équation différentielle.\\
    Attention, avec cette méthode, la réciproque est obligatoire.
\end{description}
Pour le b), utiliser $g = \ln (f)$

\item $f$ est continue sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ et :
\begin{enumerate}[a) ]
    \item $\forall (x,y) \in \mathbb{R}_{+,*}^{2}, f(x y) = f(x) + f(y)$
    \item $\forall (x,y) \in \mathbb{R}_{+,*}^{2}, f(x y) = y f(x)+ x f(y)$
\end{enumerate}

\emph{\textbf{Principe : }}\begin{enumerate}[a) ]
    \item Utiliser $g = f \circ \exp$ et se ramener au 1. a)
    \item Utiliser $g = \frac{f(x)}{x}$, diviser par $x y $ et utiliser le a) ou $ f \in
    \mathcal{C}^{1} ( \mathbb{R}_{+}^{*} , \mathbb{R} ) $ et
    dériver par rapport à $x$ et fixer $y$ pour obtenir une équation
    différentielle ( solution $f : x \longmapsto a * x \ln (x)$)
\end{enumerate}

\item Pour $\frac{5}{2}$ : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x y) = f(x) f(y)$ (idem avec
$f$ continue)

\emph{\textbf{Principe : }}Dans les deux cas, on commence par
remarquer que $f(1) = f(1)^{2} \mbox{ et } f(-1)^{2}=f(1)$ et on
distingue donc trois cas $\left \{
\begin{array}{ll}
    f(1) = 0 & \mbox{Alors } f \mbox{est nulle} \\
    f(1) = 1 \mbox{ et } f(-1) = 1 & \mbox{Alors } f \mbox{est paire}\\
    f(1) = 1 \mbox{ et } f(-1) = -1 & \mbox{Alors } f \mbox{est impaire}\\
\end{array}
\right.$
\begin{itemize}
        \item Si f est dérivable, équation différentielle, puis
        recollement par parité ou imparité
        \item Si f continue, on étudie la fonction sur
        $\mathbb{R}_{+}^{*}$ et on considère $ g = f \circ \exp$ et on se ramène au 1. b).
        On recolle ensuite par parité.
    \end{itemize}

\item $f$ est dérivable en 0 et $ a \neq 1, a \neq 0$.
$\displaystyle \forall x \in \mathbb{r} f( a x ) = a f( x )$

\emph{\textbf{Principe : }} On définit $g : \begin{array}{c}
\mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R}  \\
x \longmapsto \frac{f(x)}{x}
\end{array}$ et $g( 0 ) = f'( 0 )$.\\
Si $ |a|>1, \forall x \in \mathbb{R}$ on définit $U_{n}$ par
$U_{0}=x \mbox{ et } U_{n+1}= \frac{U_{n}}{a}$. Alors $\forall n
\in \mathbb{N}, g(x) = g(U_{n})$.\\La continuité de $g$ donne
alors $\forall x \in \mathbb{R}, g(x) = g(0)$. Utiliser $U_{n+1} =
a U_{n} \mbox{ si } |a|<1$

\item $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et :
\begin{enumerate}[a) ]
    \item $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x + y) - f(x - y) = 2 f(x) f(y)$
    \item $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x + y) + f(x - y) = 2 f(x) f(y)$
\end{enumerate}

\emph{\textbf{Principe : }}\begin{enumerate}[a) ]
    \item $f(0)=0 \mbox{ et } f(x) - f(-x) =0$. On en déduit que
    $f(x) = 2*f(\frac{x}{2})^{2} \geq 0 \mbox{ et } -f(x) = 2*f(\frac{x}{2})^{2} \geq
    0$. Donc $ f(x) = 0$
    \item Par intégration, montrer que $f \in \mathcal{C}^{2}
    (\mathbb{R} , \mathbb{R})$, puis équation différentielle
    d'ordre 2 ( dériver deux fois par rapport à $x$ et fixer $y=0$
    )
    \end{enumerate}

\item $f$ est continûment dérivable sur $\mathbb{R}$ et : $\forall
(x,y) \in \mathbb{R}^{2}, (x-y) f'(2x-y) = f(x) - f(y)$

\emph{\textbf{Principe : }}$x=0 \mbox{ et } y=0$. on obtient deux
équations. on finit en faisant $x=y$ entre ces deux équations. On
obtient $f'(2x) = f'(-x)$, on conclut par continuité de $f'$

\item $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $ \forall x \in
\mathbb{r}, x \int_{0}^{x} f^{2}(t) \dt = [ \int_{0}^{x} f(t) \dt
]^{2}$

\emph{\textbf{Principe : }} $ x = \int_{0}^{x} 1^{2} \dt$, et cas
d'égalité de Cauchy-Schwartz

\end{enumerate}
\end{boxedminipage}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\begin{boxedminipage}{19cm}
\begin{enumerate}[ 1.]
\setcounter{enumi}{7}

\item $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\forall (x,y) \in
\mathbb{R}^{2} f(x+y) = f(x) + f(y) + xy$

\emph{\textbf{Principe : }} On peut poser $g(x) = f(x) -
\frac{x^{2}}{2} \mbox{ ou } f \in \mathcal{C}^{1}
(\mathbb{R},\mathbb{R})$ et équation différentielle (
$\frac{\partial}{\partial y} \mbox{ et } y=0$ )

\item $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\forall (x,y) \in
\mathbb{R}^{2}, f(x) - f(y) = \int_{x+2y}^{y+2x} f(t) \dt$

\emph{\textbf{Principe : }} $y=0 \Rightarrow f \in \mathcal{C}^{1}
(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Ensuite, $ \frac{\partial}{\partial x}
\mbox{ et } x=y \Rightarrow f(3x) = f'(x)$. Enfin
$\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} \mbox{ et } x=0
\Rightarrow f'(2x) = f'(x)$\\ On peut conclure par continuité de
f'

\item Pour $\frac{5}{2}$ : $f$ est continue sur $ [0,1]$ et
$\int_{0}^{1} f(t) \dt = 1/3 + \int_{0}^{1} [f(t^{2}]^{2} \dt$

\emph{\textbf{Principe : }} $1/3 = \int_{0}^{1} t^{2} \dt$, on
obtient après changement de variable ( $t=u^{2}$ ) $\int_{0}^{1} (
f(t^{2}) - t )^{2} \dt =0$

\item $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\forall x \in
\mathbb{R}, f( a x + b ) = f( x )$ où $a$ et $b$ sont deux réels
fixés tels ques $|a| \neq 1$

\emph{\textbf{Principe : }} Si $|a| >1$, on pose pour $x$
quelconque $\left \{ \begin{array}{l} U_{0}=x\\U_{n+1}=
\frac{U_{n}-b}{a}
\end{array} \right .$. Alors $f(U_{n})=f(U_{n+1})$, d'où $f=$ cte par continuité \\ Si $|a|<1$, on utilise $\forall x \in
\mathbb{R},\left \{ \begin{array}{l} U_{0}=x\\U_{n+1}= a U_{n}+b
\end{array} \right .$

\item $f$ est deux fois continûment dérivable sur $\mathbb{R}$ er
$\forall x \in \mathbb{R}^{2}, f(x+1) f(x-y) = f(x)^{2} -
f(y)^{2}$

\emph{\textbf{Principe : }} $\frac{\partial^{2}}{\partial x
\partial y}$. On obtient $f"(x+y)f(x-y) -
f(x+y)f"(x-y)=0$.\\ Si $f$ est non nulle, $ \exists a \in
\mathbb{R} / f(a) \neq 0$. D'où $ \forall x \in \mathbb{R} f"(x) =
\frac{f"(a)}{f(a)} f(x)$

\end{enumerate}
\end{boxedminipage}
\end{center}
\end{document}
