\documentclass{article}
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\setmarginsrb{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{0cm}{0cm}{0cm}{0cm}
\pagestyle{empty} \DeclareMathOperator{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\DeclareMathOperator{\Mat}{\mathcal{M}\textbf{\emph{at}}}
\DeclareMathOperator{\rg}{\emph{rg}}
\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ PC* \hspace{6cm} Planche N°1 \hspace{8cm}
J.C. Martin}
\end{center}

\medskip
\begin{center}
\begin{boxedminipage}{19cm}
\textbf{Familles libres, familles liées}

\begin{enumerate}[{Exercice }1.]
\item Soit $v$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$, tel que
$\displaystyle \forall x \in E , \exists \lambda \in \mathbb{R} :
v(x) = \lambda x$\\
Monter que : $\displaystyle \exists \lambda \in \mathbb{R} / v =
\lambda Id_{E}$

\emph{\textbf{Principe : }} $\displaystyle \forall (x,y) \in
E^{2}, \left \{ \begin{array}{cc} (x,y) \mbox{ libre } \Rightarrow
\mbox{ utiliser }
v(x+y)\\ (x,y) \mbox{ liée } \Rightarrow \mbox{ utiliser } x=\alpha y\\
\end{array} \right .$  Ceci établit l'unicité de $\lambda$

\item Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$
et $v$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ qui commute avec
toutes les projections vectorielles.\\
Montrer que : $\displaystyle \exists \lambda \in \mathbb{R} / v =
\lambda Id_{E}$

\emph{\textbf{Principe : }} $\displaystyle \forall x \in E$, soit
$p$ un projecteur tel que $\displaystyle \mbox{Im} (p) =
\Vect_{\mathbb{K}} (x)$. Alors $\displaystyle p(v(x)) = v(x)
\Rightarrow \forall x \in E, \exists \lambda \in \mathbb{R} / v(x)
= \lambda x$
\end{enumerate}
\end{boxedminipage}

\medskip

\begin{boxedminipage}{19cm}
\textbf{Bases}
\begin{enumerate}[{Exercice }1.]
\item Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n>1$
et $F$ un sous-espace vectoriem de $E$ autre que $E$ et ${0}$\\
Montrer que $F$ admet une infinité de supplémentaires.

\emph{\textbf{Principe : }}On note $p$ la $\dim$ de F . Le
théorème de la base incomplète donne un premier supplémentaire
\\ $G = \Vect_{\mathbb{K}} (e_{p+1},...,e_{n})$. On note alors
$\forall \lambda \in \mathbb{K} G_{\lambda} = \Vect_{K} (e_{p+1} +
\lambda e_{1},...,e_{n})\mbox{ alors } G_{\lambda} \neq G_{\mu}
\mbox{ si } \lambda \neq \mu$

\item Démontrer le théorème du rang

\emph{\textbf{Principe : }} Soit $H \subset E / H \bigoplus
\mbox{Ker} (f) = E$ . Montrer que $h : \begin{array}{c} H
\rightarrow \mbox{Im} (f) \\ x \longmapsto f(x)
\end{array}$ est injective et surjective.

\item Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$.
on considère $f$ un endomorphisme de $E$ qui vérifie \\
$\displaystyle \exists x_{0} \in E /
[f(x_{0},f(x_{0}^{2},...,f(x_{0}^{n}]$ soit une base de $E$\\
Montrer que $f$ est un automorphisme de $E$. Étudier la
réciproque.

\emph{\textbf{Principe : }} $\displaystyle E \subset \mbox{Im}
(f)$ donc $f$ est surjective. Réciproque fausse : cas de $Id_{E}$

\item Démontrer que si $A$ et $B$ sont deux sous espaces
vectoriels de $E$, de dimension finie, alors\\ $\dim A + \dim B =
\dim (A+B) + \dim A \bigcap B$

\emph{\textbf{Principe : }} Considérer $\displaystyle f :
\begin{array}{c}
A \times B \rightarrow A + B \\
(a,b) \longmapsto a+b\\
\end{array}$ et appliquer le théorème du rang.\\
$f$ est surjective et Ker($f$) est isomorphe à $A \bigcap B$ car
Ker($f$) = $\{ (x,-x), x \in A \bigcap B \}$

\item Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$.
Montrer que :\\
$\displaystyle [\exists f \in \mathcal{L}(E) / \mbox{Im}(f) =
\mbox{Ker}(f) ] \Leftrightarrow [ n \mbox{ est pari}]$

\emph{\textbf{Principe : }} $\Rightarrow$ Théorème du rang,
$\Leftarrow$ Considérer l'endomorphisme associé à $\displaystyle
\Mat (f) = \left [
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
\frac{I_{n}}{2} & 0 \\
\end{array} \right ]$

\item Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$.
on considère $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $\displaystyle
f^{n}=0 \mbox{et} f^{n-1} \neq 0$
\begin{enumerate}[ a)]
\item Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de
$f$ est $M$ :\\
$\displaystyle M = \left [ \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 &
\ldots & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & \ddots & 0 & 0 \\
\vdots & 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & 0 & 1 & 0\\
0 & \vdots & ~ & \ddots & 0 & 1 \\
0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 & 0 \\
\end{array} \right ]$
\item Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de
$f$ est $^{t}M$
\end{enumerate}

\emph{\textbf{Principe : }} $\forall x \in E \backslash \mbox{Ker}
(f^{n-1}, (x,f(x),...,f^{k}(x))$ est libre si $ k \leq n-1$

\item Soit $A$ une matrice de rang $r$ à $n$ lignes et $p$
colonnes. Montrer qu'il existe deux matrices inversibles $P$ et
$Q$ telles que $A = P J_{r} Q$ où $J_{r}$ est la matrice
$\displaystyle \left [ \begin{array}{cc} I_{r} & 0\\
0 & 0\\
\end{array} \right ]$

\emph{\textbf{Principe : }}
\\$\Leftarrow$ invarriance du rang par
composition d'isomorphisme \\
$\Rightarrow \begin{array} {cccl} \mbox{antécédent de }
\mathcal{B} &
\mbox{ base de Ker}(f) & ~ & ~\\
\longleftrightarrow & \longleftrightarrow & ~~ & ~~ \\
\ I_{r} & 0 & \updownarrow & \mbox{Base de Im}(f) = \mathbf{B} \\
\ 0 & 0 & \updownarrow & \mbox{Théorème de la Base Incomplète}\\
\end{array}$
\begin{picture}(0,0)(0,0)
\put (-285,-20){\line(0,1){22}}
\put (-285,-20){\line(1,0){2}}
\put (-285,2){\line(1,0){2}}
\put (-190,-20){\line(0,1){22}}
\put (-190,-20){\line(-1,0){2}}
\put (-190,2){\line(-1,0){2}}
\end{picture}
\end{enumerate}
\end{boxedminipage}

\newpage
\begin{boxedminipage}{19cm}
\textbf{Rang}
\begin{enumerate}[{Exercice }1.]
\item Soit $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de
dimension finie. On considère $f$ et $g$ deux morphismes de $E$
vers
$F$.\\
Montrer que $\displaystyle | \rg (f) - \rg (g) | \leq \rg (f+g) \leq \rg (f) + \rg (g)$

\emph{\textbf{Principe : }} \\
Inégalité de droite : $\displaystyle \mbox{Im}(f+g) \subset
\mbox{Im}(f) + \mbox{Im}(g)$ puis $\dim (A+B) = \dim (A) + \dim
(B) - \dim (A \bigcap B)$  \\
Inégalité de gauche : $f = (f+g) - g$ et appliquer la première inégalité

\item Soit $E, F \mbox{ et } G$ trois $\mathbb{K}$-espaces
vectoriels. On considère $f \in \mathcal{L} (E,F) \mbox{ et } g
\in \mathcal{L} (F,G)$\\
Montrer que $\displaystyle g \circ f = 0 \Leftrightarrow
\mbox{Im}(f) \subset \mbox{Ker}(g)$

\emph{\textbf{Principe : }} Pas d'astuce... partir des définitions

\item Soit $E, F \mbox{ et } G$ trois $\mathbb{K}$-espaces
vectoriels. On cosidère $f \in \mathcal{L} (E,F) \mbox{ et } g \in
\mathcal{L} (F,G)$ \\
Montrer que

\end{enumerate}
\end{boxedminipage}
\end{center}
\end{document}
