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\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{7cm}
Nom du candidat~: Pierre-Thomas \textsc{Brun}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{7cm}
Date de l'épreuve~: ?
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Mines & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 10~min & Durée de passage~: & 50~min & Équipe~: & 12 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[Ex~1~: ]
\item On envoie un dipole $\vec{m}$ de l'infini à la position donnée. Spire d'autoinductance $L$. Trouver le courant $i$ qui passe dans la spire.

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-1)(8,1.4)
\psline{->}(0,0)(8,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(5,0)(6,0)
\rput(5.5,-0.5){$\vec{m}$}
\psellipse(4,0)(0.4,1)
\psline{-}(4,0)(4,1)
\rput(4,1.2){$b$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Ski nautique avec $γ$ constante. Trouver l'angle $α$. Étudier la stabilité.

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(6,3)
\psline{-}(0,0)(6,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=.05 .05]{-}(3.5,0)(3.5,2)
\psline{-}(1.5,2)(6,2)
\psdot(3.5,2)
\psline{-}(1.5,2)(3.5,0)
\psdot(2,1.5)
\psarc(3.5,0){0.5}{90}{135}
\rput(1.7,1.4){$G$}
\rput(2.5,2.2){$b$}
\rput(3.2,0.7){$α$}
\rput(2.5,0.7){$a$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Question de cours~: paquets d'onde
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Réponses}~:
\begin{enumerate}[Ex~1~: ]
\item $\displaystyle e = -\frac{dΦ}{dt} = - \frac{d}{dt}\left( \oiint \underbrace{\vec{B} \cdot d\vec{S}}_{Φ_1} + Φ_2 \right) = -\frac{dΦ_1}{dt} + L \frac{di}{dt}$ \\
or $\underbrace{V_A - V_B}_{=0} = \underbrace{ri}_{=0} - e_{AB} \Rightarrow e_{AB} = 0$
\item Théorème du MC en $G$. Classique mais dire que l'on prend des frottements solides. \\
On se place en $α + dα$. On regarde l'évolution qualitative des angles et donc de $rF_{θ} \rightarrow$ équilibre instable.
\item $v_{φ}$, $v_g$, ex. du tours de France. Paquet d'ondes à deux ondes. 
\end{enumerate}

\end{boxedminipage}

\end{document}