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\documentclass{article}
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\pagestyle{empty}
\let\tmp=\theta
\let\theta=\vartheta
\let\vartheta=\tmp
\let\tmp=\rho
\let\rho=\varrho
\let\varrho=\tmp
\DeclareMathOperator{\divergence}{div}
\renewcommand{\div}{\divergence}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Vincent \textsc{Tejedor}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 23/06/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & Examinateur~: & ? \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{center}
\begin{minipage}{6cm}
\scalebox{0.8}{\begin{pspicture}(-0.8,-1.5)(5,5.5)
\psline{->}(0,-0.5)(0,4.3)
\rput(0,4.5){$z$}
\psline{-}(-0.1,0)(0.1,0)
\rput(-0.4,0){$0$}
\psline{-}(-0.1,3)(0.1,3)
\rput(-0.41,3.1){$h(t)$}
\psline{-}(2,0)(2,1)
\psline{-}(2,1)(1,1)
\psline{-}(1,1)(1,3)
\psline{-}(3,0)(3,1)
\psline{-}(3,1)(4,1)
\psline{-}(4,1)(4,3)
\psline{-}(1,2.7)(4,2.7)
\psline[linestyle=dashed,dash=.05 .05](2,1)(3,1)
\psline{<->}(1,3.2)(4,3.2)
\rput(2.5,3.5){$S_1$}
\rput(4.5,3){$E$}
\psline{<->}(3.2,0)(3.2,1)
\rput(3.5,0.5){$L$}
\psline{<->}(2,-0.2)(3,-0.2)
\rput(2.5,-0.4){$S_2$}
\rput(4.5,0){$A$}
\end{pspicture}}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
Fluide parfait, écoulement non permanent
\end{minipage}
\end{center}

\begin{enumerate}[1. ]
\item \begin{enumerate}[a. ]
\item Équation d'\textsc{Euler}~?
\item Hypothèses~: fluide incompressible et écoulement irrotationnel. 
Établir \[ \frac{ρ}{2}\frac{∂v^2}{∂t} + \left( \vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}} \right) (ρgH) = 0\] \\
avec $H$ une fonction de $g$, $v$, $P$, …
\item Établir
\[ \underbrace{\iiint_{τ(t)}\frac{ρ}{2}\frac{∂v^2}{∂t}\mathrm{d}τ}_{I_1} + \underbrace{\oiint_{Σ(t)}ρgH \vec{v}\cdot\vec{n}\mathrm{d}Σ}_{I_2} = 0 \]
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}[a. ]
\item Montrer que $I_1 = ρgS_2v(t)\left( H(A) - H(E) \right)$
\item En déduire $I_1 = ρgS_2v(t) \left( \frac{v^2}{g} - h(t) \right)$
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}[a. ]
\item $\displaystyle \iiint_{τ(t)}\frac{∂v^2}{∂t}\mathrm{d}τ \simeq \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iiint_{τ(t)}v^2(t)\mathrm{d}τ$ \par\smallskip
Quand cette approximation est-elle vraie~?
\item Montrer que $I_2 \simeq \frac{ρ}{2}LS_2\frac{\mathrm{d}v^2}{\mathrm{d}t}$
\item Montrer que $\displaystyle\frac{\mathrm{d}v}{v_A} \left( \frac{1}{v_A - v} + \frac{1}{v_A + v} \right) = \frac{\mathrm{d}t}{L}$ \\
avec $v_A$ la vitesse en $A$ en régime permanent. Expression et allure de $v$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Question de cours}~: \\
\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
\scalebox{0.8}{\begin{pspicture}(-0.5,0)(5,3)
\psline{-}(0,0)(4,0)
\psline{-}(0,0)(0,0.5)
\psline{-}(4,0)(4,0.5)
\psline{-}(0,0.4)(4,0.4)
\rput(2,0.2){Hg}
\psline{-}(1,0.2)(1,1.1)
\psarc[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,1.3){0.2}{0}{360}
\rput(0.5,1.3){$m$}
\psline{-}(1,1.4)(1,1.8)
\psarc(1,1.9){0.1}{90}{270}
\psarc(1,2.1){0.1}{90}{270}
\psarc(1,2.3){0.1}{90}{270}
\rput(0.2,2.3){ressort}
\rput(0.2,1.9){et spires}
\psline{-}(1,2.4)(1,2.8)
\psline{-}(1,2.8)(3,2.8)
\psline{-}(3,2.8)(3,2.4)
\psline{-}(2.7,2.4)(3.3,2.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](2.85,2.2)(3.15,2.2)(3.15,2.15)(2.85,2.15)
\psline{-}(3,2.15)(3,1.8)
\psline{-}(3.5,1.8)(3,1)
\psline{-}(3,1)(3,0.2)
\end{pspicture}}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
Que se passe-t-il quand on ferme l'interrupteur~?
\end{minipage}
\end{center}
\smallskip
\end{boxedminipage}
\newpage
\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\smallskip\noindent\textbf{Solution proposée par le candidat}~:
\begin{enumerate}[1. ]
\item \begin{enumerate}[a. ]
\item Cours
\item $()\cdot \vec{v}$
\item Intégrer + \textsc{Stokes} + $\div ρgH\vec{v} = ρgH\underbrace{\div \vec{v}}_{=0} + \overrightarrow{\mathrm{grad}} \left( ρgH \right) \cdot \vec{v}$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a. ]
\item $\vec{v}\cdot\vec{n}$ nul sur les bords~!
\item remplacer, $H = \frac{v^2}{2g} + z + \frac{P}{ρg}$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a. ]
\item Temps de parcours $E \rightarrow A$ petit par rapport aux variations de la vitesse
\item négliger $\frac{\mathrm{d}v^2}{\mathrm{d}t}$ sur la partie haute
\item $v_A = \sqrt{2gh(t)}$ \\
Utiliser 1c. $v$ sous forme d'une tangente hyperbolique tend vers $v_A$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Commentaires}~: \par\smallskip
30~min de préparation, suffisant pour faire l'exo. Examinateur muet, il faut tenir un long monologue~!
5~min à la fin pour le «~cours~».

\end{boxedminipage}

\end{document}