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\pagestyle{empty}
\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Julien \textsc{Salort}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 09/07/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & Examinateur~: & Ponty\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(16,6)
\pnode(0,0){M}
\pnode(-1,2){E}
\pnode(1,2){A}
\resistor(E)(A){$R$}
\pnode(3,2){B}
\capacitor(A)(B){$C$}
\pnode(8,1.75){D}
\pnode(4,1.5){VM}
\OA[OAinvert=false,OAperfect=true](B)(VM)(D)
\wire(VM)(4,0.5)
\wire(4,0.5)(8,0.5)
\wire(8,0.5)(D)
\pnode(10,1.75){C}
\resistor(D)(C){$R$}
\pnode(14,1.5){S}
\pnode(10,1.25){VP}
\OA[OAinvert=true,OAperfect=true](C)(VP)(S)
\pnode(10,3){F}
\wire(C)(F)
\pnode(14,3){G}
\resistor(F)(G){$αR$}
\pnode(14,5){H}
\wire(S)(H)
\pnode(1,5){I}
\wire(A)(I)
\capacitor(I)(H){$C$}
\pnode(-1,-1){M}
\pnode(14,-1){P}
\wire(M)(P)
\pnode(3,-1){N}
\resistor(N)(B){$R$}
\pnode(10,-1){O}
\wire(VP)(O)
\ground(O)
\tension(M)(E){$e(t)$}
\tension[labeloffset=-0.5](P)(S){$s(t)$}
\node(A)
\uput{4pt}[270](A){$A$}
\node(B)
\uput{4pt}[90](B){$B$}
\node(C)
\uput{3pt}[270](C){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[1. ]
\item Montrer que la fonction de transfert s'écrit~:
\begin{displaymath}
\underbar{H} = \dfrac{a}{1 + jb \left( \frac{ω}{ω_0} - \frac{ω_0}{ω} \right)}
\end{displaymath}

Exprimer les constantes $a$ et $b$ en fonction de $R$, $C$ et $α$.
\item En déduire l'équation différentielle vérifiée par $s(t)$
\item De quel type de filtre s'agit-il~?
\item Comment évolue le diagramme de \textsc{Bode} lorsque l'on fait varier $α$~?
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Solution, commentaires et questions subsidiaires}~: \par\smallskip
Il s'agit d'un exercice d'électrocinétique assez simple. Il suffit de faire le théorème de \textsc{Millmann} aux points $A$, $B$ et $C$. Filtre passe-bande.

Question de l'examinateur~: quelle constante quantifie la précision du filtre~? Calculer la largeur de la bande passante.

Réponse~: $b = Q = \frac{ω_0}{Δω}$

Question de l'examinateur~: qu'obtient-on si on met en entrée un signal triangulaire de pulsation $ω$~? Condition pour n'obtenir qu'une seule harmonique en sortie~?

Réponse~: on obtient seulement les harmoniques qui sont dans la bande. Si $ω < Δω$, on n'obtient qu'une seule harmonique. Si $ω \simeq ω_0$, on obtient le fondamental du triangle.
\end{boxedminipage}

\end{document}