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\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
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      <5> <6> <7> <8> <9> <10> gen * matha
      <10.95> <12> <14.4> <17.28> <20.74> <24.88> matha10
      }{}
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      <5> <6> <7> <8> <9> <10> gen * mathb
      <10.95> <12> <14.4> <17.28> <20.74> <24.88> mathb10
      }{}
\DeclareSymbolFont{mathb}{U}{mathb}{m}{n}
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      <5> <6> <7> <8> <9> <10>
      <10.95> <12> <14.4> <17.28> <20.74> <24.88>
      mathx10
      }{}
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\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Vincent \textsc{Tejedor}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 18/06/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: X/ESPCI & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 0 & Durée de passage~: & 50~min & Examinateur~: & S. \textsc{Attal} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[I. ]
\item $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) , \forall k \in \mathbb{N} , A^k \mbox{ bornée}$ \\
$ B_p = \displaystyle\frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1}A^k$
\begin{itemize}
\item Montrer que $B_p$ admet une valeur d'adhérence notée $B$
\item Montrer que $B^2 = B$
\item Montrer que $\begin{array}[t]{l}
\Im (A - Id) = \Ker (B) \\
\Ker(A - Id) = \Im (B)
\end{array}$
\item Montrer que $\displaystyle\lim_{p \rightarrow +∞}B_p = B$
\end{itemize}
\item $S = \left\{ f \in \mathcal{C}^{∞}\left( \mathbb{R} , \mathbb{R} \right) / \forall (n,m) \in \mathbb{N}^2 , x \mapsto x^nf^{(n)}(x) \mbox{ bornée sur } \mathbb{R} \right\}$ \\
$F(x) = \displaystyle\sum_{n\in \mathbb{Z}} f(x+n)$ et $G(x) = \displaystyle\sum_{n \in \mathbb{Z}}f'(x+n)$
\begin{itemize}
\item Exemples de fonctions dans $S$
\item Montrer que $F$ existe
\item Montrer que $F$ converge normalement sur tout compact
\item Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Solution utilisée}~:
\begin{itemize}
\item Valeur d'adhérence~: $\displaystyle \vvvert B_p \vvvert ≤ \frac{1}{p} \sum_{k=0}^{p-1} \vvvert A^k \vvvert ≤ M$ car $\displaystyle \left( A^k \right)_{k \in \mathbb{N}}$ bornée
\item $B^2 = B$~: indication $BA = B$ (facile) puis $B \times BP = B$ plus limite et continuité de $M \mapsto BM$
\item $B$ projecteur et $\begin{array}[t]{l} 
\Im(A - Id) \subset \Ker(B) \qquad X = AY - Y \Rightarrow BX = 0 \\
\Ker(A - Id) \subset \Im(B) \qquad B_pX = X \mbox{ …}
\end{array}$ \\
+ théorème du rang et dimension
\item Si deux valeurs d'adhérences, ce sont des projecteurs de même noyau et même image donc la valeur est unique. D'où $\displaystyle\lim_{p \rightarrow +∞}B_p = B$
\item $x \mapsto e^{-x^2} \in S$
\item $x^2f(x) \mbox{ bornée } \Rightarrow f(x+n) \underset{+∞}{=} O\left( \frac{1}{n^2} \right)$\\
Idem avec $\| f \|_{∞}$
\end{itemize}

\smallskip\noindent\textbf{Questions de cours}~:
\begin{itemize}
\item Définition d'un compact et quelques exemples (avant l'exo 1)
\item Convergence et série de \textsc{Fourier} (avant l'exo 2)
\end{itemize}

\end{boxedminipage}

\end{document}