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\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Fanny \textsc{Henriet}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 30/06/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: X/ESPCI & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 0 & Durée de passage~: & 50~min & Examinateur~: & JJ. \textsc{Risler} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[I. ]
\item $y^{(n)}(t) + c_1(t)y^{(n-1)}(t) + \ldots + c_n(t)y(t) = 0$ avec $\forall i \in \llbracket 1 , n \rrbracket , c_i \in \mathcal{C}^0(I , \mathbb{R})$ \\
la longueur de l'intervalle $I$ est $l$. \\
$| c_i(t) | < c_i$ (avec $c_i$ une constante) \\
$\displaystyle \sum_{i=1}^nc_il^i < 1$ \\
Montrer que $f$ a au plus $n$ zéros \\
Montrer qu'il existe une solution avec $n-1$ zéros
\item Savez-vous ce qu'est une matrice nilpotente~? Que peut-on dire des valeurs propres d'une telle matrice. Réciproque~: si 0 est l'unique valeur propre, montrer que $M$ est nilpotente. \\
On considère $A$ et $B$ telles que $(A + λ_iB)^n = 0$ pour $\left( λ_1 , \ldots , λ_n \right) \in \mathbb{R}^n$ \\
Montrer~: $\begin{cases} A^n = 0 \\ B^n = 0 \end{cases}$
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Solution utilisée}~:
\begin{enumerate}[I. ]
\item \begin{itemize}
\item Par l'absurde~: si $n+1$ zéros \\
Théorème de Rolle~: $\exists α \in I , f^{(n)}(α) = 0$ \\
$\displaystyle f^{(n-1)}(x) = \int_{α}^xf^{(n)}(t)dt$ puis majorations \\
On en déduit $| f^{(i)}(x) | ≤ \| f_n \|_{∞} l^i$ d'où $\displaystyle \sum_{i=1}^nc_i(t)y^{n-i}(t) ≤ \| f^{(n)} \|_{∞} \underbrace{\sum_{i=1}^nc_il^i}_{<1}$ \\
Donc $\forall t \in I , f^{(n)}(t) < \| f^{(n)} \|_{∞}$ (contradiction car $I$ est un compact)
\item $\dim \mathcal{S} = n$ \\
$\displaystyle φ: \begin{array}[t]{rcl}
\mathcal{S} & \rightarrow & \mathbb{R}^{n-1} \\
f & \mapsto & \left( \begin{array}{l}
f^{(n)}(x_1) + c_1(x_1)f^{(n-1)}(x_1) + \ldots + c_{n-1}(x_1)f'(x_1) \\
\vdots \\
f^{(n)}(x_{n-1}) + \ldots + c_{n-1}(x_{n-1})f'(x_{n-1})
\end{array}\right)\end{array}$ \\
Théorème du rang~: $\dim \Im(φ) ≤ n-1 \Rightarrow \dim \Ker(φ) ≥ 1$ \\
Donc $\exists f_{\mathrm{sol}} \in \mathcal{S} , f_{\mathrm{sol}}(x_1) = \ldots = f_{\mathrm{sol}}(x_{n-1}) = 0$
\end{itemize}
\item \begin{itemize}
\item $\dim\Ker M^p > \dim\Ker M^{p+1}$
\item $\left( A + xB \right)^n$ + polynômes des composantes
\end{itemize}
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Commentaire}~: \par\smallskip
Examinateur très gentil.

\end{boxedminipage}

\end{document}