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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Vincent \textsc{Tejedor}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'Épreuve~: 14/07/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Mines-Ponts & & & & Equipe 10 & \\
\hline
Durée de préparation~: & 15 & Durée de passage~: & 1~heure & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~: \par\smallskip
\begin{enumerate} [I.]
\item $\displaystyle\ R_{n} = \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}$\\
Montrer que $\displaystyle\ R_{n}=(-1)^{n}\int_{0}^{1}\frac{t^{n}}{1+t}dt$\\
Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}R_{n} $ \\
Est-ce que la série de terme général $\displaystyle |R_{n}|$ converge ?\\
Donner un équivalent de $\displaystyle |R_{n}|$ en $+\infty $\\
\item Soit u : $\displaystyle \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ \\
Montrer qu'il existe un plan stable par u \\
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Solution proposée par le candidat}~: \par\smallskip
\begin{enumerate} [I.]
\item D'abord montrer que $\displaystyle \sum_{n\geq0} R_{n}$
converge.\\
Ensuite partir de l'intégrale et appliquer la méthode
d'intégration terme à terme avec les séries (développer
$\displaystyle \frac{1}{1+t} $)
\\ Pour le calcul de la somme, partir de $\displaystyle
\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+t)^{2}}dt$ et appliquer la méthode des
séries\\
Minorer $\displaystyle |R_{n}|$ par $\frac{1}{2*(n+1)}$ en
utilisant l'intégrale\\ $\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\leq
|R_{n}|\leq\frac{1}{n+1}$, on cherche $\alpha$ tel que
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}
\frac{n}{\alpha}*R_{n}=1$\\

\item En dimension 3, u admet au moins une valeur propre
$\lambda$\\u commute avec $\displaystyle u-\lambda*
Id_{\mathbb{R}^{3}}$, donc noyau et image $\displaystyle
u-\lambda* Id_{\mathbb{R}^{3}}$ de sont stables par u\\ Etudier
alors les trois cas possibles en fonction de $\displaystyle \dim
Ker (u-\lambda* Id_{\mathbb{R}^{3}})$
\end{enumerate}
\smallskip\noindent\textbf{Commentaires}~: \par\smallskip
Attention dans l'exercice 2, la méthode avec le vecteur propre de
$\displaystyle ^{t}u$ ne convient pas, car aucun produit scalaire
n'est défini

\smallskip\noindent\textbf{Note}~: 17/20 \par\smallskip
\end{boxedminipage}

\end{document}
