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\pagestyle{empty}
\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{7cm}
Nom du candidat~: Pierre-Thomas \textsc{Brun}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{7cm}
Date de l'épreuve~: 08/07/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Mines & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 10~min & Durée de passage~: & 50~min & Équipe~: & 12 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[Ex 1]
\item $\displaystyle M = \left( \begin{array}{ccc} a & c & b \\ b & a & c \\ c & b & a \end{array} \right)$ \\
Montrer que $M \in SO_3(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \exists k \in \left[ 0 , \frac{4}{27} \right] \mbox{ tel que } a , b , c \mbox{ trois racines de } X^3 - X^2 + k$
\item Soit $α \in \mathbb{R}^*$ et $f$ $2π$-périodique , $\forall t \in [-π , π [ , f(t) = e^{αt}$ \\
Calculer $\displaystyle \sum_{n=1}^{+∞}\frac{1}{α^2 + n^2}$
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Indications données par l'examinateur}~: aucune

\smallskip\noindent\textbf{Solution utilisée}~:
\begin{enumerate}[Ex 1]
\item $\displaystyle \begin{cases} a^2 + b^2 + c^2 = 1 \\
a + b + c = 1 \\
\ldots
\end{cases}$ \\
$\| \vec{C}_1 \| = \| \vec{C}_2 \| = \| \vec{C}_3 \| = 1$ \\
$\mathopen< \vec{C}_1 | \vec{C}_2 \mathclose> = 0$ \\
$\mathopen< \vec{C}_1 | \vec{C}_3 \mathclose> = 0$ \\
$\vec{C}_1 \wedge \vec{C}_2 = \vec{C}_3$

\smallskip

\noindent Établir le système \\
Ensuite~: $P(X) = X^3 - X^2 + k = (X - a)(X - b)(X - c)$ donne le même système \\
$P'(X) = 3X^2 - 2X = 0 \Rightarrow X \in \left\{ 0 ; \frac{2}{3} \right\}$ \\
$\displaystyle \begin{cases} P(0) = +k \\ P\left( \frac{2}{3} \right) = \frac{-4}{27} + k \end{cases} \Rightarrow k \in \left[ 0 ; \frac{4}{27} \right]$ pour avoir trois racines réelles

\item Calculer les coefficients de \textsc{Fourier} puis \textsc{Dirichlet} … se placer en $t = π$ \\
Calcul de la régularisée \\
Question subsidiaire~: $\displaystyle\lim_{α \rightarrow 0}$
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Question de cours éventuelle}~: \par\smallskip
Intégration et exemples.

\end{boxedminipage}

\end{document}