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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Vincent \textsc{Tejedor}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 01/07/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: ENS (U/L) & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 0 & Durée de passage~: & 45~min & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~: \par\smallskip
$u \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R}) , u'' = u + u^3$ \\
$h: (y,z) \mapsto \frac{z^2}{2} - \frac{y^2}{2} - \frac{y^4}{4}$ 

Que dire de $h(u(t),u'(t))$~? \\
Tracer les lignes de niveaux de $h$. \\
En déduire la forme de $u$ (graphique)

\smallskip\noindent\textbf{Solution utilisée}~: \par\smallskip
$\frac{∂h}{∂t}(u(t),u'(t)) = 0 \Leftrightarrow$ ligne de niveau \\
Lignes de niveaux~: distinguer les cas, constantes positives, nulles ou négatives \\
Forme de $u$~: origine de $t$ arbitraire \\
Se contenter de la forme en 0 et en $±∞$

\smallskip\noindent\textbf{Commentaires}~: \par\smallskip
Assez difficile face à un examinateur peu volubile~! Garder son calme~!

\end{boxedminipage}

\end{document}