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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Fanny \textsc{Henriet}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 10/07/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: ENS (U/L) & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 0 & Durée de passage~: & 1~h & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~: \par\smallskip
$\displaystyle a_k ≥ 0, \sum_{k=n}^{+∞}a_k ≤ ca_n$ \\
$c > 1$, $a_0 = 1$ \\
Majorer $a_n$. \\
Montrer que c'est la majoration la plus fine possible.

\smallskip\noindent\textbf{Solution utilisée}~: \par\smallskip
$\displaystyle ca_n ≥ \sum_{k=n}^{+∞} a_k ≥ a_n + a_{n+1}$ \\
$\displaystyle \Rightarrow (c-1)a_n ≥ a_{n+1}$ \\
$\displaystyle \Rightarrow a_{n+1} ≤ (c-1)^{n+1}$ \\
puis $\displaystyle ca_n ≥ \sum_{k=n}^{+∞} a_k ≥ a_n + a_{n+1} + a_{n+2} ≥ a_n + a_{n+2}\left( 1 + \frac{1}{c-1} \right)$ \\
$\displaystyle \frac{(c-1)^2}{c}a_n ≥ a_{n+2}$ puis récurrence~: $\displaystyle a_{n+k} ≤ \frac{(c-1)^k}{c^{k-1}}a_n$ \\
$\displaystyle \Rightarrow a_n ≤ \frac{(c-1)^n}{c^{n-1}}$

puis montrer que la série géométrique de raison $\frac{c-1}{c}$ ne convient pas…


\end{boxedminipage}

\end{document}