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\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Vincent \textsc{Laurent}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 29/06/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[I. ]
\item Calculer le déterminant de la matrice définie par $c_{ij} = |i-j|$
\item $\displaystyle \mathopen< P | Q \mathclose> = \int_0^1\frac{PQ}{\sqrt{t(1-t)}}dt$
\begin{itemize}
\item produit scalaire~?
\item on suppose qu'il existe une BON de $P_n$ de degré n. Montrer que tout polynôme de degré inférieur à n-1 est orthogonal à $P_n$
\item on suppose $\exists α \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} , P_n(α) = 0$ \\
Montrer $P_n = T \times P$ avec $T$ polynôme irréductible unitaire et $P$ polynôme de degré inférieur ou égal à n-2.
\item Montrer que $P_n$ n'admet que des racines simples
\end{itemize}
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Solution utilisée}~:
\begin{enumerate}[I. ]
\item Allure de la matrice~: \par\smallskip
\noindent $\left[ \begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 2 & \ldots & n-1 \\
1 & 0 &    &           & \\
\vdots & 1 & \ddots &  &\vdots  \\
        &  \vdots &       & \ddots & \\
n-1 & n-2 & \ldots &  1 & 0
\end{array}
\right]$
\begin{itemize}
\item $\begin{cases}
C_1 \rightarrow C_2 - C_1 \\
C_2 \rightarrow C_3 - C_2 \\
\vdots \\
C_{n-1} \rightarrow C_n - C_{n-1}
\end{cases}$
\item On ajoute la première ligne à toutes les autres \\
$\det = (-2)^{n-2}$ (ou quelque chose dans ce genre)
\end{itemize}
\item \begin{itemize}
\item définition
\item $\mathopen< P_n | \sum α_kP_k \mathclose> = 0$
\item $P_n = \left( X^2 - \Re(α)X + \| α \|^2 \right)$
\item j'ai pas réussi
\end{itemize}
\end{enumerate}


\end{boxedminipage}

\end{document}