\documentclass{article}
\usepackage[mathletters]{ucs}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[upright,expert]{fourier}
\usepackage{color}
\usepackage{boxedminipage}
\usepackage{vmargin}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath}

\setmarginsrb{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{0cm}{0cm}{0cm}{0cm}
\pagestyle{empty}
\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Vincent \textsc{Tejedor}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 24/06/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[{Exercice }1.]
\item Étudier la nature de $\displaystyle u_n = \frac{1}{n^{β}}\sum_{p=1}^np^{α}$ et de $\displaystyle v_n = \frac{1}{n^{β}}\sum_{p=1}^np^{α}\ln(p)$ avec $β > 0$ et $α \in \mathbb{R}$
\item $\displaystyle (α_n) \in \left( \mathbb{R}^+ \right)^{\mathbb{N}} , \lim_{n \rightarrow +∞}a_n=0$ \\
$f$ fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}$ \\
Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +∞}\int_{-∞}^{+∞}\frac{a_nf(t)\mathrm{d}t}{a_n^2 + t^2}$
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Indications données par l'examinateur}~: \par\smallskip
Pour l'exercice 2~: changement de variable (après deux tentatives un peu compliquées à son goût)

\smallskip\noindent\textbf{Solutions utilisées}~:
\begin{enumerate}[{Exercice }1.]
\item \begin{itemize}
\item Étudier $α > -1$ \\
$\displaystyle u_n = \frac{1}{n^{β - (α+1)}} \times \frac{1}{n} \sum_{p=1}^n\left( \frac{p}{n} \right)^{α}$ et \textsc{Riemann} $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{p=1}^n\left( \frac{p}{n} \right)^{α} = \int_0^1t^{α}\mathrm{d}t + o(1)$
\item $α < -1$ \\
$\displaystyle \sum_{p=1}^np^{α}$ CV donc bornée
\item $α = -1$~: $\displaystyle \sum_{p=1}^n\frac{1}{p} \sim \ln(n)$
\item idem pour $v_n$
\end{itemize}
\item Poser $\displaystyle u = \frac{t}{a_n}$ et CV dominée
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Commentaires du candidat}~: \par\smallskip
Maple n'a servi à rien. Seul l'exercice 1 était à préparer.

\smallskip\noindent\textbf{Question de cours éventuelle}~: \par\smallskip
Montrer que $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{p=1}^nf\left( \frac{p}{n} \right) \underset{+∞}{=} \int_0^1f(t)\mathrm{d}t + o(1)$ avec $\begin{cases} f \not\in \mathcal{C}^0\left( [0,1] , \mathbb{R} \right) \\ f \in \mathcal{L}^1\left( ]0,1], \mathbb{R} \right) \end{cases}$

\end{boxedminipage}

\end{document}