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\pagestyle{empty}
\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Oksana \textsc{Medyna}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 06/07/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~: \par\smallskip
$\displaystyle F(x) = \int_x^{+∞}\frac{\sin t}{t^2} \mathrm{dt}$
\begin{enumerate}[1. ]
\item Montrer que $F: ]0 , +∞[ \rightarrow \mathbb{R}$
\item Montrer que $\displaystyle F(x) \underset{+∞}{=} \frac{\cos x}{x^2} + o\left(\frac{1}{x^3}\right)$
\item Montrer que $\displaystyle F(x) \underset{0}{\sim} - \ln x$
\item Montrer que $F$ ne s'annule qu'une seule fois sur $] 0 , π]$ en $r$
\item Calculer $r$ à l'aide de Maple (valeur approchée)
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Indication donnée par l'examinateur}~: \par\smallskip
$\displaystyle F(x) = \int_x^1 + \underbrace{\int_1^{+∞}}_{= \mathrm{cste}}$

\noindent\textbf{Solution utilisée}~:
\begin{enumerate}[1. ]
\item IPP
\item $\displaystyle - \ln x = \int_x^1\frac{\mathrm{dt}}{t}$ + différence avec équivalent supposé
\item strictement décroissante
\end{enumerate}

\end{boxedminipage}

\end{document}