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\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
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\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Yann \textsc{Krysinski}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 20/07/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[{Exercice}~1~: ]
\item \begin{enumerate}[1. ]
\item Soit $\displaystyle g(x) = \int_0^x\sin(t^2) \mathrm{dt}$ \\
Montrer que $g(x)$ admet une limite en $+∞$
\item Soit $f: \begin{array}[t]{rlc}
]-π , π] & \rightarrow & \mathbb{R} \\
x           & \mapsto      & \sqrt{|x|}
\end{array}$ \\
\begin{enumerate}[a. ]
\item Représentation graphique de $f$ sur $]-3π , 3π]$
\item Étudier la convergence de la série de \textsc{Fourier} de $f$
\end{enumerate}
\item Montrer que $\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+∞}a_n = 0$
\end{enumerate}
\item Étude de la suite $\displaystyle u_n = \prod_{k=1}^n \left( 1 + \frac{k}{n^2}\right)$
\end{enumerate}

\noindent\smallskip\textbf{Indication donnée par l'examinateur}~: 
Trouver un équivalent de $a_n$.

\noindent\smallskip\textbf{Solution du candidat}~: 
\begin{enumerate}[{Exercice}~1~: ]
\item \begin{enumerate}[1. ]
\item Cours (IPP)
\item Attention la fonction n'est pas $\mathcal{C}^1_{pm} \Rightarrow$ \xcancel{\textsc{Dirichlet}}. \\
Recherche de l'équivalent par IPP puis théorème de convergence uniforme pour la série de \textsc{Fourier} (hors-programme j'ai dû le redémontrer~: Parseval $\Rightarrow$ convergence au sens de la norme 2 + unicité de la limite)
\item $x = 0$
\end{enumerate}
\item prendre le log puis Taylor-Lagrange
\end{enumerate}

\noindent\smallskip\textbf{Note}~: 20/20

\end{boxedminipage}

\end{document}