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\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Vincent \textsc{Stefani}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 30/06/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale (Maths 2) & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & Examinateur~: & M. \textsc{Girard} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[1. ]
\item Étudier la suite $\displaystyle v_n = \prod_{k=2}^n\frac{\sqrt{k} - 1}{\sqrt{k} + 1}$
\item $\displaystyle (a_n)_{n\in \mathbb{N}} , (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}} , \sum_{n ≥ 0}a_n \mbox{ ACV} , \exists N \in \mathbb{N} , \forall n ≥ N , \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| ≤ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$
\begin{enumerate}[a. ]
\item Montrer que $\exists N \in \mathbb{N} , \exists k > 0 , \forall n ≥ N , |u_n| < k |a_n|$ \\
Que dire sur $\sum|u_n|$~?
\item Soit $\displaystyle w_n , \left| \frac{w_{n+1}}{w_n} \right| = 1 - \frac{β}{n} + o\left( \frac{1}{n} \right)$. Que dire de $\sum |w_n|$~? ($β > 1$)
\item Que dire de $\sum v_n^r$ avec $r > 0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Solution utilisée}~:
\begin{enumerate}[1. ]
\item Utiliser le ln + DL
\item \begin{enumerate}[a. ]
\item facile
\item $\displaystyle \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ avec séries de \textsc{Riemann}
\item Utiliser ce qui a été montré avant
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Commentaires du candidat}~: \par\smallskip
J'ai pataugé (mauvaise méthode prise au 2b), l'examinateur m'a tendu des perches que j'ai peiné à saisir…

\smallskip\noindent\textbf{Question de cours éventuelle}~: \par\smallskip
Un petit aparté sur la démo du critère de \textsc{d'Alembert} pour les séries numériques (rien de méchant)

\end{boxedminipage}

\end{document}