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\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Vincent \textsc{Laurent}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 29/06/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~: \par\smallskip

\noindent $\displaystyle g(t) = \int_0^{+∞}\frac{\sin(xt)}{e^x - 1}dx$
\begin{enumerate}[1. ]
\item Domaine de définition
\item $\mathcal{C}^0$~?
\item $\mathcal{C}^{∞}$ et $g^{(k)}(t)$
\item $g(1)$ exprimée en fonction d'une série
\item Maple~: approximer $g(1)$
\item Équivalent de $R_n$
\end{enumerate}

\noindent\smallskip\textbf{Solution utilisée}~:
\begin{enumerate}[1. ]
\item $\mathbb{R}$
\item Leibnitz (avec $[-a , a] \subset \mathbb{R}$)
\item $\displaystyle g^{(k)}(t) = \int_0^{+∞}\frac{x^k\sin\left(xt + k\frac{π}{2}\right)}{e^x - 1}dx$
\item $\displaystyle g(1) = \int_0^{+∞}\frac{\sin x}{e^x - 1}dx$
\begin{itemize}
\item suite géométrique
\item $g(1) = \sum\frac{1}{k^2+1}$
\end{itemize}
\item ? (j'ai oublié)
\item encadrement avec intégrale
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Commentaire}~: \par\smallskip
Yann \textsc{Krysinski} me précise que l'on pouvait dériver $2 \times g(t)$ et obtenir une équa-diff…

\end{boxedminipage}

\end{document}