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\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Vincent \textsc{Tejedor}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'Épreuve~: 24/06/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale-Supelec & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[{Exercice }1.]
\item Soit D la droite définie par $\left\{
\begin{array}{lr}
P~: & x+y+z=1 \\
Q~: & x-y= 0
\end{array} \right. $\\
Quelle est la distance entre D et l'axe $O_{z}$ \item Soit E un
espace vectoriel normé, e un base orthonormée de E et
$\displaystyle (u,v)\in\mathcal{L}(E)^{2}$\\
Montrer que $\displaystyle
\exists\alpha\in\mathbb{R}~/~\forall~(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in
E^{n}~,~\sum_{i=1}^{n} \det_{e}
(x_{1},...,x_{i-1},u(x_{i}),x_{i+1},...,x_{n})~=~\alpha~\det_{e}(x_{1},...,x_{n})
$\\
En déduire que $\displaystyle
\exists\beta\in\mathbb{R}~/~\forall~(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in
E^{n}~,~\sum_{i \neq j}
\det_{e}(x_{1},...,x_{i-1}),u(x_{i}),x_{i+1},...,x_{j-1},v(x_{j}),u_{j+1},...,x_{n})$\\
\end{enumerate}
\smallskip\noindent\textbf{Indications données par l'examinateur}~: \par\smallskip
Je partais sur les cas $\displaystyle (x_{1},...,x_{n})$ liée ou
libre, et il m'a proposé de raisonner sur la dimension de l'espace
des applications n-linéaires alternées\\
\smallskip\noindent\textbf{Solutions utilisées}~:
\begin{enumerate}[{Exercice }1.]
    \item $\left[
\begin{array}{cc}
0\\
0\\
1\\
\end{array} \right] \in D \bigcap O_{z} $. Du coup l'examinateur a
modifié Q : x-y = 2. Il m'a demandé de redémontrer l'existence de
$\displaystyle\min_{N \in D , M \in O_z}\|\overrightarrow{MN}\|$
(considérer la continuité de $\displaystyle \phi : M \mapsto
d(M,O_{z})$ sur un compact bien choisi)
    \item L'application $\displaystyle \varphi_{u} : (x_{1},...,x_{n}) \mapsto \sum_{i=1}^{n} \det_{e}
(x_{1},...,x_{i-1},u(x_{i}),x_{i+1},...,x_{n})$ est une forme
n-linéaire alternée. ($\alpha = Tr(u)$)\\
$\displaystyle \sum_{j=1 , j \neq
i}^{n}\det_{e}(x_{1},...,x_{i-1},u(x_{i}),x_{i+1},...,x_{j-1},v(x_{j}),u_{j+1},...,x_{n})
= \varphi_{v}(x_{1},...,u(x_{i}),...,x_{n}) - \det_{e}(x_{1},...,v
\circ u(x_{i}),...,x_{n})$\\
D'où $\displaystyle \beta = Tr(u)*Tr(v) - Tr(u \circ v )$
\end{enumerate}
\smallskip\noindent\textbf{Commentaires du candidat}~: \par\smallskip
Examinateur pas très sympa. Même si les exercices sont simples, il
est très mal vu de demander un exercice supplémentaire...\\
\smallskip\noindent\textbf{Note}~:~18/20\par\smallskip
\end{boxedminipage}

\end{document}
