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\pagestyle{empty}
\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{7cm}
Nom du candidat~: Pierre-Thomas \textsc{Brun}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{7cm}
Date de l'épreuve~: 28/06/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[Ex~1~: ]
\item \begin{itemize}
\item $(A,B) \in \mathcal{M}_n\left( \mathbb{R} \right) , AB = BA$ \\
Montrer que $\det\left( A^2 + B^2 \right) ≥ 0$
\item Est-ce que ça marche si elles ne commutent plus
\end{itemize}
\item \begin{itemize}
\item Esp. normé. $\| x \| + \| y \| ≤ 2 \max\left( \| x+y \| , \| x - y \| \right)$ \\
Cas dégalité~?
\item Esp. euclidien. $\| x \| + \| y \| ≤ \sqrt{2} \max \left( \| x + y \| , \| x - y \| \right)$ \\
Peut-on avoir la même chose avec $a < \sqrt{2}$~?
\end{itemize}
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Aide de l'examinateur}~: \par\smallskip
Trouver une relation qui lie tous les termes de l'inégalité.

\smallskip\noindent\textbf{Solution proposée par le candidat}~:
\begin{enumerate}[Ex~1~: ]
\item $( A + iB)(A - iB) = A^2 + B^2$ d'où $\det(A^2 + B^2) = \det(A+iB)\det(A-iB)$ \\
$\displaystyle \det(A - iB) = \sum_{σ \in \mathcal{S}_n}ε(σ)\left(A_{σ(1),1} - iB_{σ(1),1}\right)\ldots\left(A_{σ(n),n} - iB_{σ(n),n}\right)$ \\
$\displaystyle \phantom{\det(A - iB)} = \sum_{σ \in \mathcal{S}_n}ε(σ)\left(\overline{A_{σ(1),1} + iB_{σ(1),1}}\right)\ldots\left(\overline{A_{σ(n),n} + iB_{σ(n),n}}\right) = \overline{\det(A + iB)}$ \\
Mettre des O et se laisser un ou deux degrés de liberté puis voir.
\item \begin{itemize}
\item $x = x + y - y$ puis double feinte de l'ours
\item $\| x+y \|^2 = \|x\|^2 + \| y \|^2 + 2 \left( x | y \right) \ldots$ \\
$\| x - y \|^2 = \ldots$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Remarque}~: \par\smallskip
Pour cet oral, mieux valait avoir de la chance.
  
\end{boxedminipage}

\end{document}