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\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Oksana \textsc{Medyna}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 30/06/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[Exo 1. ]
\item $A(z) , B(z^3) , C(z^5)$. \\
Trouver $z \in \mathbb{C}$ tel que $ABC$ isocèle $(AC = BC)$
\item $E = \mathcal{C}^2\left( [0,1] , \mathbb{R} \right)$ \\
$\displaystyle φ: (f,g) \in E^2 \mapsto \int_0^1\left[ f(t)g(t) + f'(t)g'(t) \right] \mathrm{dt}$
\begin{enumerate}[1. ]
\item Montrer que $φ$ est un produit scalaire
\item $\displaystyle F = \left\{ f \in E , f(0) = f(1) = 0 \right\}$ \\
$\displaystyle G = \left\{ f'' = f \right\}$ \\
Montrer $E = F \oplus G$. Quelle est la projection orthogonale sur $G$~?
\item Je ne me rappelle plus mais un «~inf~»
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent\smallskip\textbf{Indications données par l'examinateur}~:
\begin{enumerate}[Exo 1. ]
\item À la fin, noter $z = x + iy$
\item $F+G=E$ par analyse et synthèse
\end{enumerate}

\noindent\smallskip\textbf{Solution utilisée}~:
\begin{enumerate}[Exo 1. ]
\item $O, E(-1), D(z^2): ME = MO \Rightarrow z^2 = -\frac{1}{2} + ib , z = x + iy$
\item \begin{enumerate}[1. ]
\item Définition
\item $F \cap G = \{ 0 \} , F+G = E$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Commentaires du candidat}~: \par\smallskip
L'examinateur disait toujours «~oui~».

\end{boxedminipage}

\end{document}