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\pagestyle{empty}
\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Fanny \textsc{Henriet}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 20/07/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[I. ]
\item On donne une matrice 3x3 (je ne m'en souviens plus) \\
Trouver l'endomorphisme associé (c'était une rotation). \\
(sans intérêt mais long)
\item $\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{array} \right)^4 = \left( \begin{array}{ccc} 54 & -27 & 54 \\ -27 & 54 & 54 \\ -27 & 54 & -27 \end{array} \right) = B$ \\
Trouver $a$ et $b$ \\
Obtient-on toutes les solutions $M$ de l'équation~: $M^4 =B$~?
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Solution utilisée par la candidate}~: \par\smallskip
$M^4 = B \Rightarrow MB = BM$ et $B$ et $M$ diagonalisables \\
d'où $M$ et $B$ diagonalisables dans la même BON

$\left( \begin{array}{ccc} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{array} \right) = (a-b)I_3 + b \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$.

On diagonalise et on obtient $D$ et $D^4 = D'$ (avec $D'$ la matrice diagonalisée de $B$ dans la même BON que $D$ pour $M$)\\
On en déduit $a$ et $b$.

Je n'ai pas eu le temps de faire la dernière question (contre-exemple)

\end{boxedminipage}

\end{document}