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\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Vincent \textsc{Stefani}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 30/06/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale (Maths 1) & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[1. ]
\item À l'aide de $\left( X + 1 \right)^n - 1$, déterminer $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{kπ}{n} $
\item $u \in \mathcal{S}_n^{++}(E)$
\begin{enumerate}[a. ]
\item Montrer que $\forall (x,y) \in E^2 , \mathopen< u(x) , x \mathclose>\mathopen< u^{-1}(y) , y \mathclose> ≥ \mathopen< x , y \mathclose>^2$
\item Déterminer $\displaystyle \inf\limits_{x \in E / \| x \|^2=1}\mathopen< u(x) , x \mathclose> \mathopen< u^{-1}(x) , x \mathclose>$
\item Déterminer $\displaystyle \mathcal{M}_y(u) = \left\{ \inf \mathopen< u(x) , x \mathclose> , x \in E , \mathopen< x , y \mathclose> = 1 \right\}$
\item $u,v \in \mathcal{S}_n^{++}(E)$
\begin{itemize}
\item Montrer $u+v \in \mathcal{S}_n^{++}(E)$
\item $\mathcal{M}_y(u+v) ≥ \mathcal{M}_y(u) + \mathcal{M}_y(v)$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Indications données par l'examinateur}~:
\begin{enumerate}[1. ]
\item Rien
\item a. Utiliser \textsc{Cauchy-Schwarz} (choix du «~x~» et du «~y~» et c.)
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Solution utilisée}~:
\begin{enumerate}[1. ]
\item \begin{itemize}
\item Chercher les racines de $P \rightarrow$ factoriser
\item Utiliser $\exp$ pour $\sin$
\item \danger somme de $k=0$ à $n-1 \rightarrow P(0) = 0$ \\
Il faut prendre $Q(X) = \frac{P(X)}{X}$ à déterminer par binôme de \textsc{Newton} sur $P$ et calculer
\item Arranger, ça marche…
\end{itemize}
\item \begin{itemize}
\item Utiliser une BON, tout écrire puis ICS avec $\displaystyle x' = \left( \begin{array}{c}\frac{x_1}{λ_1} \\ \vdots \\ \frac{x_n}{λ_n} \end{array} \right)$ et $\displaystyle y' = \left( \begin{array}{c} λ_1y_1 \\ \vdots \\ λ_ny_n \end{array} \right)$
\item Utiliser $\overrightarrow{\mathrm{vp}}$
\end{itemize}
\end{enumerate}

Pas facile facile… examinateur cependant assez bienveillant. Pas de question de cours.

\end{boxedminipage}

\end{document}