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\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Fanny \textsc{Henriet}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 15/07/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: Centrale & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\[ \begin{cases} (A_n) \quad y'' - xy' + ny = 0 \\
(B_n) \quad y''+xy'+(n+1)y=0 \end{cases} \]
\begin{enumerate}[I. ]
\item Montrer que $φ$ est solution de $A_n$ ssi $x \mapsto φ(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$ est solution de $B_n$
\item On pose $f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}$. Montrer que pour tout $n$, $f^{(n)}$ est solution de $B_n$
\item $P_n(x) = f^{(n)}(x)e^{\frac{x^2}{2}}$. Calculer $P_0$, $P_1$, $P_2$ \\
Montrer que $P'_{n+1}=-(n+1)P_n$, en déduire que $P_n$ est un polynôme de degré $n$
\item Montrer que pour tout polynôme $P$, $P_f$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ \\
Montrer que $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}P(x) \left[ Q''(x) - xQ'(x) \right]f(x)dx = \int_{\mathbb{R}}Q(x)\left[ P''(x) - xP'(x) \right] f(x) dx$
\item En déduire que $\displaystyle \forall m, n \in \mathbb{N}^2, m ≠ n , \int_{\mathbb{R}}P_n(x)P_m(x)e^{-\frac{x^2}{2}}dx = 0$
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Solution utilisée}~:
\begin{enumerate}[I. ]
\item À faire
\item Récurrence
\item Dériver $P_{n+1}$ et utiliser $f$ solution de $B_n$
\item $\left[ Q''(x) - xQ'(x) \right] f(x) = (Q'f)'(x)$ + IPP entre $-A$ et $A$ \\
($P$ et $Q$ jouent des rôles symétriques)
\item $P_n$ solution de $A_n$ / $P_m$ solution de $A_m$ + question IV.
\end{enumerate}

\end{boxedminipage}

\end{document}