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\pagestyle{empty}
\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\renewcommand{\Im}{\Image}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}

\begin{document}

\definecolor{gris}{gray}{0.8}

\begin{center}
\fcolorbox{black}{gris}{ Compte rendu d'oral~: PC*} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Nom du candidat~: Oksana \textsc{Medyna}
\end{boxedminipage} \par \medskip
\begin{boxedminipage}{6cm}
Date de l'épreuve~: 22/06/2004
\end{boxedminipage}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|llllll|}
\hline
École~: CCP & & & & & \\
\hline
Durée de préparation~: & 30~min & Durée de passage~: & 30~min & &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{boxedminipage}{\textwidth}
\noindent\textbf{Sujet}~:
\begin{enumerate}[1. ]
\item avec préparation~: $\forall n \in \mathbb{N}^* , \forall k \in \llbracket 1 , n \rrbracket , u_{n,k} = \sin\frac{k}{n}\sin\frac{k}{n^2}$
\begin{enumerate}[a. ]
\item Montrer que $\forall x \in [0 , 1 ] , x - \dfrac{x^3}{6} ≤ \sin x ≤ x$
\item En déduire, si elle existe, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +∞}\sum_{k=1}^n\sin\frac{k}{n}\sin\frac{k}{n^2}$
\end{enumerate}
\item sans préparation~: $\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right)$. Calculer $A^n$
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Indications données par l'examinateur}~: \par\smallskip
Après que mes méthodes n'ont rien donné~:
\begin{itemize}
\item garder $\sin\frac{k}{n}$
\item diagonaliser $A$
\end{itemize}

\smallskip\noindent\textbf{Solution utilisée}~:
\begin{enumerate}[1. ]
\item \begin{enumerate}[a. ]
\item Taylor
\item \begin{itemize}
\item Encadrer $\sin\dfrac{k}{n^2}$
\item $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +∞}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}\sin\frac{k}{n} = \int_0^1x\sin x \mathrm{dx}$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item Diagonaliser
\end{enumerate}

\smallskip\noindent\textbf{Commentaires du candidat}~: \par\smallskip
Il y avait une erreur d'énoncé et le prof était content que je le remarque.

\end{boxedminipage}

\end{document}