Le Chaos

Quelques exemples d'introduction au chaos

  1. Phénomènes météorologiques
  2. Le ballon de baudruche
  3. Le robinet qui goutte
  4. Contre-exemple du mouvement Brownien

1. Phénomènes météorologiques

Un cyclone est un phénomène météorologique qui se caractérise par de forts vents et de fortes pluies. Les météorologues connaissant ses conditions de formation, on pourrait penser qu’ils sont en mesure d’expliquer le phénomène de manière précise : prévoir sa trajectoire, son évolution, au moins à court terme. Pourtant, ils se trouvent incapables de faire toute prévision en pratique.
Hyacynthe, par exemple est un cyclone tropical qui s'est trouvé près des côtes malgaches en janvier 1980. On peut constater que le cyclone semble avoir une trajectoire imprévisible, incohérente.
Il s’agit d’un phénomène chaotique.
Le météorologue Edward Lorentz a parlé le premier de l’"effet papillon", alors qu’il travaillait dans les années 1960 sur un problème de prédiction du temps. Son énoncé est le suivant : "Un papillon qui bat des ailes à Tokyo pourrait être responsable de l'orage qui éclatera le lendemain ou trois mois plus tard à New York".
    Comment comprendre cet énoncé ?

2. Le ballon de baudruche

Un ballon de baudruche gonflé qu’on lâche (sans vitesse initiale), dans une direction déterminée, se dégonfle et suit dans l’air une trajectoire sans régularité aucune.
    Quand on répète l’expérience dans des conditions initiales aussi semblables que possible, (position, direction, volume du ballon, absence de vitesse initiale…), on constate que le ballon suit à nouveau une trajectoire sans régularité, mais de plus que celle-ci est totalement différente de celle obtenue lors du premier lâcher, contrairement à ce à quoi on aurait pu s’attendre. C’est cette totale imprévisibilité qui donne à penser que ce mouvement est chaotique.

3. Le robinet qui goutte

    Lorsqu’on observe l’écoulement d’un robinet ordinaire (de préférence sans grille), on constate différentes "phases", différents modes d’écoulement en fonction du débit.
    En réalité, il a été démontré que cet écoulement, obéissant à des lois déterministes de mécanique des fluides, présente une évolution chaotique. Ceci n’était pas certain car on aurait pu penser que cet aspect "aléatoire" provenait effectivement de paramètres définis de manière probabiliste et non déterministe (comme les chocs avec les "molécules" de l’air, par exemple).

4. Contre-exemple du mouvement Brownien

    Contrairement aux exemples précédemment cités, le mouvement Brownien n'est pas chaotique mais aléatoire, c'est-à-dire régi par une loi probabiliste.
    On peut ainsi citer l'exemple d'un grain de poussière contenu dans un fluide: de l'eau par exemple, observé au microscope. On voit qu'il est soumis à un bombardement incessant par les molécules d'eau dû à l'agitation thermique. Si un grand nombre de molécules frappent en même temps la particule d'un même côté, elles peuvent déplacer celle-ci de façon notable. Cependant les mouvements des particules en suspension sont indépendants les uns des autres, même lorsque les particules sont séparées par une distance inférieure à leur propre diamètre. Le mouvement  brownien est un phénomène doublement aléatoire: la trajectoire du grain de poussière est rendue aléatoire par les fluctuations aléatoires des vitesses des molécules. De plus, la résolution du microscope ne permet pas d'entrevoir la réelle complexité de la trajectoire. (On note cependant que la trajectoire d'une particule animée d'un mouvement brownien est semblable à elle-même pour chaque agrandissement d'une partie de cette trajectoire).
    On ne peut donc prévoir la trajectoire précise du grain de poussière car les molécules d'eau ainsi que leurs interactions sont innombrables. Le fait que le déplacement soit imprévisible n’est pas dû à une éventuelle évolution chaotique du système, mais à un la présence de phénomènes aléatoires.

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