Le Chaos
Quelques exemples d'introduction au chaos
- Phénomènes météorologiques
- Le ballon de baudruche
- Le robinet qui goutte
- Contre-exemple du mouvement Brownien
1. Phénomènes météorologiques
Un cyclone est un phénomène météorologique qui
se caractérise par de forts vents et de fortes pluies. Les météorologues
connaissant ses conditions de formation, on pourrait penser qu’ils sont en
mesure d’expliquer le phénomène de manière précise
: prévoir sa trajectoire, son évolution, au moins à
court terme. Pourtant, ils se trouvent incapables de faire toute prévision
en pratique.
Hyacynthe, par exemple est un cyclone tropical qui s'est trouvé près
des côtes malgaches en janvier 1980. On peut constater que le cyclone
semble avoir une trajectoire imprévisible, incohérente.
Il s’agit d’un phénomène chaotique.
Le météorologue Edward Lorentz a parlé le premier de
l’"effet papillon", alors qu’il travaillait dans les années 1960 sur
un problème de prédiction du temps. Son énoncé
est le suivant : "Un papillon qui bat des ailes à Tokyo pourrait être
responsable de l'orage qui éclatera le lendemain ou trois mois plus
tard à New York".
Comment comprendre cet énoncé ?
2. Le ballon de baudruche
Un ballon de baudruche gonflé qu’on lâche (sans vitesse initiale),
dans une direction déterminée, se dégonfle et suit dans
l’air une trajectoire sans régularité aucune.
Quand on répète l’expérience dans
des conditions initiales aussi semblables que possible, (position, direction,
volume du ballon, absence de vitesse initiale…), on constate que le ballon
suit à nouveau une trajectoire sans régularité, mais
de plus que celle-ci est totalement différente de celle obtenue lors
du premier lâcher, contrairement à ce à quoi on aurait
pu s’attendre. C’est cette totale imprévisibilité qui donne
à penser que ce mouvement est chaotique.
3. Le robinet qui goutte
Lorsqu’on observe l’écoulement d’un robinet ordinaire
(de préférence sans grille), on constate différentes
"phases", différents modes d’écoulement en fonction du débit.
- Pour un débit faible, le robinet " goutte " : le liquide qu’il
laisse s’écouler tombe lorsque la goutte atteint un volume déterminé.
Cette chute des gouttes est un phénomène parfaitement régulier.
Nous sommes ici en présence d’un régime qui est à rapprocher
du régime laminaire d’écoulement d’un fluide.
- Lorsqu’on augmente faiblement le débit, avant d’obtenir un flux
" régulier ", continu, on est en présence d’une phase où
les gouttes sont encore séparées et distinctes mais ne tombent
plus du tout de manière régulière. On est passé
dans un régime ressemblant à des turbulences dans l’écoulement
du fluide.
En réalité, il a été démontré
que cet écoulement, obéissant à des lois déterministes
de mécanique des fluides, présente une évolution chaotique.
Ceci n’était pas certain car on aurait pu penser que cet aspect "aléatoire"
provenait effectivement de paramètres définis de manière
probabiliste et non déterministe (comme les chocs avec les "molécules"
de l’air, par exemple).
4. Contre-exemple du mouvement Brownien
Contrairement aux exemples précédemment
cités, le mouvement Brownien n'est pas chaotique mais aléatoire,
c'est-à-dire régi par une loi probabiliste.
On peut ainsi citer l'exemple d'un grain de poussière
contenu dans un fluide: de l'eau par exemple, observé au microscope.
On voit qu'il est soumis à un bombardement incessant par les molécules
d'eau dû à l'agitation thermique. Si un grand nombre de molécules
frappent en même temps la particule d'un même côté,
elles peuvent déplacer celle-ci de façon notable. Cependant
les mouvements des particules en suspension sont indépendants les
uns des autres, même lorsque les particules sont séparées
par une distance inférieure à leur propre diamètre.
Le mouvement brownien est un phénomène doublement aléatoire:
la trajectoire du grain de poussière est rendue aléatoire par
les fluctuations aléatoires des vitesses des molécules. De
plus, la résolution du microscope ne permet pas d'entrevoir la réelle
complexité de la trajectoire. (On note cependant que la trajectoire
d'une particule animée d'un mouvement brownien est semblable à
elle-même pour chaque agrandissement d'une partie de cette trajectoire).
On ne peut donc prévoir la trajectoire précise
du grain de poussière car les molécules d'eau ainsi que leurs
interactions sont innombrables. Le fait que le déplacement soit imprévisible
n’est pas dû à une éventuelle évolution chaotique
du système, mais à un la présence de phénomènes
aléatoires.
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